Per descrivere una trasformazione geometrica possiamo usare il seguente sistema di coordinate:
stabiliamo la stessa unità di misura sui due assi cartesiani in modo da  formare una griglia a maglia quadrata. Le coordinate dell' origine siano (0,0). Il vettore rosso, i (1,0), di lunghezza unitaria, segue  direzione e verso orizzontale mentre quello verde, j(0,1), pure di lunghezza unitaria, segue  direzione e verso verticale.
I vettori rosso e verde, detti versori, sono i vettori di base per il sistema di coordinate.
Ogni punto P nel  piano si può allora  esprimere in modo univoco come la somma  di multipli di i e j: basta scrivere P = x* i + y * j (x ed y sono le usuali coordinate cartesiane di P).
Nell'esempio della figura P = 3i+2j.

Per capire come funziona una trasformazione, basta vedere come essa agisce sui vettori di base i e j.
Infatti se P è un punto qualsiasi e T una trasformazione, la linearità  ci assicura che
T(P) = T( x * i + y * j) = x * T(i) + y * T(j).

Dunque, una volta conosciute T(i) and T(j), facilmente possiamo determinare T(P) per ogni punto P.
Se infatti T(i) = a * i + d * j
              T(j) = b * i + e * j

trasformazione abbreviata come matrice
a  b
d  e
allora ogni altro punto P = x* i + y * j si ottiene come prodotto della matrice