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La trasformazione dipende dai 6 parametri a, b, c, d,
e, f;
x e y rappresentano rispettivamente
l'ascissa e l'ordinata del punto di partenza, mentre x' e y'
rappresentano quelle del punto trasformato.
SIMMETRIA DI ASSE QUALUNQUE
Abbiamo già visto le equazioni della simmetria assiale in alcuni casi particolari, notando le seguenti proprietà:
Se prendiamo due punti A, B ed i loro simmetrici A', B': i segmenti AB ed A'B' sono congruenti, quindi la simmetria assiale è un'isometria, cioè una trasformazione che fa corrispondere ad ogni coppia di punti una coppia di punti che hanno la stessa distanza: il rapporto di segmenti corrispondenti è 1.
Si tratta di un' isometria inversa, che cioè ribalta le figure e che, applicata due volte di seguito, dà luogo all'identità: si tratta di una trasformazione involutoria.
L'asse di simmetria è retta di punti uniti (cioè ogni punto dell'asse corrisponde a se stesso) e anche le rette perpendicolari agli assi sono unite, ma i loro punti no: ognuno di essi si trasforma nel suo simmetrico appartenente alla semiretta opposta.
Possiamo ora affermare che la simmetria assiale è una particolare similitudine indiretta in cui il rapporto
k > 0 di due segmenti corrispondenti è uguale ad 1
EQUAZIONE DELLA SIMMETRIA ASSIALE
Si dimostra che se r è una retta non parallela all'asse delle y, di equazione y=mx+n, l'equazione della simmetria di asse r è data da
Essa quindi è un caso particolare di equazione di simmetria indiretta.
ESEMPIO
Troviamo l'equazione della simmetria di asse la retta r di equazione y=x/2+2. Si ha:
Si vede che, ad esempio:
- (0,0) --> (-8/5, 16/5)
- (1,0) --> (-1, 4)
- (0,1) --> (-4/5, 13/5)
Si verifica inoltre che il generico punto P(k, k/2+2), appartenente all'asse di simmetria, si trasforma in sé stesso; il generico punto Q(k, -2k+n), appartenente ad una perpendicolare all'asse di simmetria, si trasforma in un punto Q' pure appartenente alla stessa retta.
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