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TRASFORMAZIONE I
O(0,0)
__> O'(0, 0)
A(1,0) __> A'(1, 0)
C(0,1) __> C'(0,-4)
B(1,1) __> B'(1,-4) |
Una caratteristica dell'ombra è che, man mano che il sole scende verso l'orizzonte, si allunga. Possiamo simulare l'ombra immaginando di dilatare una figura soltanto lungo l'asse verticale. Per maggiore semplicità partiamo da un quadrato di lato unitario che abbia un vertice nell'origine ed i lati sugli assi delle coordinate.
Se operiamo secondo la trasformazione I, a sinistra, il quadrato OABC si dovrebbe trasformare nel rettangolo O'A'B'C' che
ha due lati opposti uguali a quelli del quadrato, mentre gli altri due sono
quadrupli di quelli del quadrato; inoltre quadrato e rettangolo di trovano in
semipiani opposti rispetto all'asse orizzontale.
Cerchiamo adesso una legge che esprima la nostra intenzione: non basta certo
trasformare quattro vertici ma, diciamo così, tutti i punti del quadrato
devono subire la stessa sorte, cioè si devono trasformare in punti del
rettangolo.
Si intuisce che il corrispondente di un generico punto del quadrato P(x,y) si
deve trasformare nel punto P'(x, -4y).
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| Scriviamo dunque l'equazione della trasformazione che indichiamo con T
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| | Essa è invertibile; infatti esiste T-1
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Così costruita, la trasformazione inoltre riguarda tutto il piano. Rette si trasformano in rette: ad esempio la retta y=x si trasforma nella retta y=-4x [Basta sostituire rispettivamente ad x e y i valori che si ricavano da T-1]
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Come esempio trasformiamo il parallelogramma ABCD applicando ad esso la trasformazione T che muta il quadrato rosso nel rettangolo verde in figura: otteniamo il parallelogramma A'B'C'D'.
- Trasformiamo il punto A(3, -2): lasciamo invariata l'ascissa e moltiplichiamo l'ordinata per - 4. Troviamo il punto A'(3, 8)
- trasformiamo il punto B(6, -2): lasciamo invariata l'ascissa e moltiplichiamo l'ordinata per - 4. Troviamo il punto B'(6, 8)
- trasformiamo il punto C(8, 1): lasciamo invariata l'ascissa e moltiplichiamo l'ordinata per - 4. Troviamo il punto C'(8, -4)
- trasformiamo il punto D(5, 1): lasciamo invariata l'ascissa e moltiplichiamo l'ordinata per - 4. Troviamo il punto D'(5, -4)
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Dunque l'idea sembra funzionare, ma è chiaro che si tratta solo di un
esempio. Vediamo quindi se è possibile costruire, rimanendo nel piano, una corrispondenza che abbia le stesse proprietà già evidenziate, e cioè che, essenzialmente, trasformi rette parallele in rette parallele, ossia che mantenga il parallelismo.
| Proviamo perciò una trasformazione più generale, ad esempio dilatiamo il quadrato anche lungo l'asse x, questa volta triplicandolo. L'equazione sarà |  |
| Nella figura a fianco è rappresentata la trasformazione di base (quadrato rosso - rettangolo verde) ed una trasformazione di un trapezio rettangolo (rosso) in un altro trapezio rettangolo (verde).
Anche questa trasformazione, come la prima, è un'affinità, ma di certo ne esistono altri tipi che dovremo ricercare. |
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