RICHIAMI SULLE TRASFORMAZIONI LINEARI

Prima parte
Dilatazioni
Definizione di affinità
Un'affinità trasforma rette parallele in rette parallele
Variazioni di scala
Omotetia con centro O
Simmetria centrale rispetto ad O
Simmetria rispetto agli assi cartesiani.
Simmetria rispetto ad una delle bisettrici
Simmetria rispetto ad una retta parallela all'asse y
Simmetria rispetto ad una retta parallela all'asse x
Traslazione
Rotazione di centro O
Rotazione di centro C(x0,y0)
Similitudine
Similitudine diretta
Similitudine indiretta
Simmetria di asse qualunque
Equazione della simmetria assiale
Matrici ed operazioni
Matrici delle trasformazioni

TRASFORMAZIONE I

O(0,0)  __> O'(0, 0)
A(1,0)  __> A'(1, 0)
C(0,1)  __> C'(0,-4)
B(1,1)  __> B'(1,-4)



Una caratteristica dell'ombra è che, man mano che il sole scende verso l'orizzonte, si allunga. Possiamo simulare l'ombra immaginando di dilatare una figura soltanto lungo l'asse verticale. Per maggiore semplicità partiamo da un quadrato di lato unitario che abbia un vertice nell'origine ed i lati sugli assi delle coordinate.
Se operiamo secondo la  trasformazione I, a sinistra, il quadrato OABC si dovrebbe trasformare nel rettangolo O'A'B'C' che ha due lati opposti uguali a quelli del quadrato, mentre gli altri due sono quadrupli di quelli del quadrato; inoltre quadrato e rettangolo di trovano in semipiani opposti rispetto all'asse orizzontale.
Cerchiamo adesso una legge che esprima la nostra intenzione: non basta certo trasformare quattro vertici ma, diciamo così, tutti i punti del quadrato devono subire la stessa sorte, cioè si devono trasformare in punti del rettangolo.
 Si intuisce che il corrispondente di un generico punto del quadrato P(x,y) si deve trasformare nel punto P'(x, -4y).

Scriviamo dunque l'equazione della trasformazione che indichiamo con T  equazione
Essa è invertibile; infatti esiste T-1 equazione inversa

Così costruita, la trasformazione inoltre riguarda tutto il piano. Rette si trasformano in rette: ad esempio la retta y=x si trasforma nella retta y=-4x [Basta sostituire rispettivamente ad x e y i valori che si ricavano da T-1]


applicazione

Come esempio trasformiamo il parallelogramma ABCD applicando ad esso la trasformazione T che muta il quadrato rosso nel rettangolo verde in figura: otteniamo il parallelogramma A'B'C'D'.

  • Trasformiamo il punto A(3, -2): lasciamo invariata l'ascissa e moltiplichiamo l'ordinata per - 4. Troviamo il punto A'(3, 8)
  • trasformiamo il punto B(6, -2): lasciamo invariata l'ascissa e moltiplichiamo l'ordinata per - 4. Troviamo il punto B'(6, 8)
  • trasformiamo il punto C(8, 1): lasciamo invariata l'ascissa e moltiplichiamo l'ordinata per - 4. Troviamo il punto C'(8, -4)
  • trasformiamo il punto D(5, 1): lasciamo invariata l'ascissa e moltiplichiamo l'ordinata per - 4. Troviamo il punto D'(5, -4)

Dunque l'idea sembra funzionare, ma è chiaro che si tratta solo di un esempio. Vediamo quindi se è possibile costruire, rimanendo nel piano, una corrispondenza che abbia le stesse proprietà già evidenziate, e cioè che, essenzialmente, trasformi rette parallele in rette parallele, ossia che mantenga il parallelismo.

Proviamo perciò una trasformazione più generale, ad esempio dilatiamo il quadrato anche lungo l'asse x, questa volta triplicandolo. L'equazione sarà
equazione
Nella figura a fianco è rappresentata la trasformazione di base (quadrato rosso - rettangolo verde) ed una trasformazione di un trapezio rettangolo (rosso) in un altro trapezio rettangolo (verde).
Anche questa trasformazione, come la prima, è un'affinità, ma di certo ne esistono altri tipi che dovremo ricercare.


 

 

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