RICHIAMI SULLE TRASFORMAZIONI LINEARI

Prima parte
Dilatazioni
Definizione di affinità
Un'affinità trasforma rette parallele in rette parallele
Variazioni di scala
Omotetia con centro O
Simmetria centrale rispetto ad O
Simmetria rispetto agli assi cartesiani.
Simmetria rispetto ad una delle bisettrici
Simmetria rispetto ad una retta parallela all'asse y
Simmetria rispetto ad una retta parallela all'asse x
Traslazione
Rotazione di centro O
Rotazione di centro C(x0,y0)
Similitudine
Similitudine diretta
Similitudine indiretta
Simmetria di asse qualunque
Equazione della simmetria assiale
Matrici ed operazioni
Matrici delle trasformazioni

PREMESSA. Scriviamo i sistemi di equazioni senza fare uso della parentesi graffa.

Partiamo dall'equazione dell'omotetia di centro l'origine(con a 0):

x'= ax
y'= dx

Nell'omotetia il rapporto fra segmenti corrispondenti può anche essere negativo: in questo caso il centro appartiene al segmento che unisce due punti corrispondenti (omotetia indiretta).
Un caso speciale si ha poi quando
a = -1: in tal caso abbiamo una simmetria centrale rispetto all'origine che quindi ha equazioni:
x'= -x
y'= -y
Infine notiamo, osservando la figura a lato, che, ad esempio, alla retta OA corrisponde la retta OA'; ci convinciamo che tutte le rette che passano per l'origine sono unite, ossia corrispondono a se stesse. I loro punti però, tranne il centro, si trasformano in punti distinti: diciamo che le rette passanti per il centro sono unite, ma non di punti uniti. Inoltre, ad esempio, la retta AB si trasforma nella retta A'B', ad essa parallela: in generale si dimostra, sintetizzando le osservazioni precedenti, che l'omotetia conserva il parallelismo.
E' escluso, ovviamente, il caso in cui risulti a = 0: in tal caso non abbiamo più a che fare con una corrispondenza biunivoca, infatti tutto il piano finirebbe inghiottito in un punto solo, l'origine degli assi cartesiani!

LA SIMMETRIA CENTRALE:

simmetria centraleE' un caso particolare di affinità (a=-1; b=c=0; d=0; e=-1; f=0). Cambiano segno sia le ascisse che le ordinate. L'origine corrisponde a se stessa nella trasformazione: si tratta dell'unico punto unito. Inoltre prendiamo due punti A, B ed i loro simmetrici A', B': i segmenti AB ed A'B' sono paralleli; essi sono anche congruenti, quindi la simmetria centrale è un'isometria, cioè una trasformazione che fa corrispondere ad ogni coppia di punti una coppia di punti che hanno la stessa distanza. Notiamo che, applicata due volte di seguito, dà luogo all'identità: si tratta di una trasformazione involutoria.


   

 

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