Introduzione
Che
cosa sono i frattali?
Come
si realizzano i frattali?
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FRATTALI DI NEWTON
Si ottengono applicando il metodo di Newton alla risoluzione di equazioni del tipo xp=1 nel piano complesso.
Si parte da un punto z0 e si applica la formula ricorsiva:
zn+1 = ((p-1)znp +1)/(pznp-1)
A seconda del punto di partenza, la successione z0, z1, z2, z3..., zn converge ad una delle p soluzioni. Ad ognuna delle soluzioni corrisponde un diverso colore che viene assegnato al punto di partenza. L'insieme dei punti che sono "attratti" dalla stessa soluzione si chiama bacino d'attrazione.
E' interessante notare quello che avviene lungo la frontiera dei bacini, dove i colori tendono a mescolarsi dimostrando quasi una lotta delle soluzioni per accaparrarsi la convergenza.
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Sia data da risolvere l'equazione x3-1=0 Nel piano complesso, l'equazione ha tre soluzioni, che corrispondono ai vertici del triangolo equilatero inscritto nel cerchio di centro l'origine e raggio unitario. Applichiamo il metodo di Newton e coloriamo rispettivamente di rosso, verde e blu i punti che appartengono ai tre bacini d'attrazione. Ed ecco il risultato ottenuto. |
| Sia data da risolvere l'equazione x4-1=0 Nel piano complesso, l'equazione ha quattro soluzioni, che corrispondono ai vertici del quadrato inscritto nel cerchio di centro l'origine e raggio unitario.Applichiamo il metodo di Newton e coloriamo rispettivamente di rosso, verde, blu e arancio i punti che appartengono ai quattro bacini d'attrazione. Ed ecco il risultato ottenuto. Ed ecco il risultato ottenuto. |
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Sia data da risolvere l'equazione x5-1=0 Nel piano complesso, l'equazione ha cinque soluzioni, che corrispondono ai vertici del pentagono regolare inscritto nel cerchio di centro l'origine e raggio unitario. Applichiamo il metodo di Newton e coloriamo rispettivamente di rosso, verde, blu, arancio e grigio i punti che appartengono ai cinque bacini d'attrazione. Ed ecco il risultato ottenuto. |
| Sia data da risolvere l'equazione x6-1=0 Nel piano complesso, l'equazione ha sei soluzioni, che corrispondono ai vertici dell'esagono regolare inscritto nel cerchio di centro l'origine e raggio unitario. Applichiamo il metodo di Newton e coloriamo rispettivamente di rosso, verde, blu, alternativamente pił chiaro e pił scuro, i punti che appartengono ai sei bacini d'attrazione. Ed ecco il risultato ottenuto. |
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E' possibile scaricare il programma in Visual Basic che permette di osservare i frattali di Newton a vari livelli di ingrandimento.