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Introduzione
Che cosa sono i frattali?
Come si realizzano i frattali?
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CARATTERISTICHE

Autosimilarità
Perimetro infinito e area finita
Dimensione non intera
Struttura complessa a tutte le scale di riproduzione
Dinamica caotica

PERSONAGGI

Niels Fabian Helge von Koch
Waclaw Sierpinski
Gaston Maurice Julia
Benoit Mandelbrot

TIPI DI FRATTALI

Curva di von Kock
Triangolo di Sierpinski
Tappeto di Sierpinski
Insieme di Mandelbrot
Insiemi di Julia
Frattali di Newton
Drago frattale
Cattedrale frattale
Icebergs frattali
Alberi frattali
Curva logistica
Nuvole frattali

FRATTALI E REALTA'

...fisiologia umana
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Bibliografia e indirizzi utili

DINAMICA CAOTICA

Le leggi matematiche che generano i frattali sono molto semplici, pur tuttavia basta una minima variazione in un parametro per determinare una trasformazione significativa delle figure finali.

Si usa dire che l'aspetto di un oggetto frattale dimostra un'estrema sensibilità alle condizioni di partenza che usiamo per costruirlo: nel caso del triangolo di Sierpinski, che è generato da un'equazione di primo grado, tuttavia, si riconosce sempre la forma iniziale. Invece i frattali generati da equazioni almeno di secondo grado  sono esempi tipici di sistemi caotici.

La parola caos richiama alla mente uno stato di totale disordine e si usa per indicare appunto tutte quelle situazioni nelle quali non si riesce ad individuare una regola.
"...a quegli spari successe il caos, e nessuno capì più nulla..." recita il Manzoni.
Del resto già gli antichi greci chiamavano caos la materia primordiale senza ordine che preesisteva al cosmos, cioè all'universo ordinato.

Precipitare nel caos sembra quindi finire in un mondo senza leggi, senza sicuri sviluppi, nel mondo della casualità: tutto l'opposto, quindi, di ciò che siamo abituati a ricomprendere nell'ambito della scienza.
Così riconosciamo ordinato il mondo della natura quando possiamo predire con millimetrica precisione non solo la data della prossima eclisse ma anche la zona dove si potrà ammirare meglio lo spettacolo; se la scienza non sa darci risposte esatte in alcuni casi, immaginiamo che questo accada perchè le leggi che governano certi fenomeni sono troppo difficili per essere comprese dall'uomo almeno fino a questo momento. (Come diceva Bertrand Russel, filosofo del nostro secolo, le leggi della Natura sono semplici perchè non siamo capaci di scoprire quelle difficili...).
In effetti, il metodo adottato dalla scienza classica tende a trascurare tutti quei fenomeni che non possono essere previsti esattamente, relegando nella sfera del disordine certe turbolenze o irregolarità che pure spesso convivono nella realtà di tutti i giorni.

Facciamo un esempio: se gettiamo due barchette una accanto all'altra in un fiume che scorre lento e placido, esse rimarranno a lungo vicine, e subiranno la stessa sorte; se però il corso d'acqua si trasforma in una rapida, la loro rotta non sarà prevedibile e molto probabilmente le barchette potranno trovarsi lontane. Nell'immagine a lato, è rappresentato il moto di due barche (uno in rosso e l'altro in blu). All'inizio i moti si sovrappongono, e infatti si vede soltano la linea rossa, poi invece spesso prendono direzioni del tutto diverse. Questo significa che, a partire dalla stessa posizione iniziale, la posizione successiva non è predicibile. Perchè? Forse che la turbolenza porta con sé il caso? E' qui che entra in gioco la teoria del caos, intesa in senso moderno, matematico.

L'attuale definizione di caos è tutta qui: "la sensibilità alle condizioni di partenza". Ma cerchiamo di spegarci meglio.

Le leggi della natura permettono di predire con sicurezza molti fenomeni naturali: dal ritorno delle comete alle eclissi, alle mareee.
Alcuni aspetti della realtà sono però molto difficili da descrivere e da interpretare. Le condizioni atmosferiche, ad esempio, diventano imprevedibili a lungo termine, perchè ogni piccola variazione nelle condizioni attuali si amplifica e si ingigantisce in breve tempo: tutto questo anche se l'atmosfera ubbidisce a leggi fisiche ben precise che esprimono, ad esempio, il legame fra pressione e temperatura, fra pressione e velocità del vento e così via.
Questa sensibilità alle condizioni iniziali è detta effetto farfalla, da quando, nel 1972, il meteorologo Edward Lorenz raccontò, per illustrare la difficoltà di predire a lungo termine certe turbolenze climatiche, di come sia possibile, teoricamente, che un battito d'ali di una farfalla in Brasile provochi un tornado in Texas.
Che cosa intendeva dire in realtà?
Edward Lorenz, meteorologo presso il MIT (Massachusetts Institute of Technology), aveva sviluppato al computer un modello delle condizioni atmosferiche. Anche se i suoi risultati non erano utili per le previsioni del tempo reale, tuttavia erano realistiche nel riprodurre la sua variabilità , e in particolare nel non presentarsi mai in aspetto identico a se stesso. Nel 1961, avendo fretta, inserì nel suo computer dei numeri approssimati a tre cifre decimali invece che a sei come faceva di solito. Ora, ci si aspetta che se le condizioni iniziali sono approssimativamente simili , e si seguono le leggi naturali, anche il comportamento finale non varia di molto. Senza questa regola, la fisica non avrebbe fatto grandi passi avanti, perchè spesso la realtà è talmente complicata che occorre trascurarne vari aspetti.
Quello che apparve agli occhi di Lorenz fu invece una parte simile, ma una parte totalmente diversa. Dopo un iniziale smarrimento, egli si era reso conto che sebbene i frattali non presentino la stessa turbolenza di un uragano, essi tuttavia costituiscono un buon modello per lo studio di molte perturbazioni, proprio per la loro dinamica caotica.