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Introduzione
Che
cosa sono i frattali? Come
si realizzano i frattali? Area
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CARATTERISTICHE
Autosimilarità Perimetro
infinito e area finita Dimensione
non intera Struttura
complessa a tutte le scale di riproduzione Dinamica
caotica
PERSONAGGI
Niels
Fabian Helge von Koch Waclaw
Sierpinski Gaston
Maurice Julia Benoit
Mandelbrot
TIPI DI
FRATTALI
Curva
di von Kock Triangolo
di Sierpinski Tappeto
di Sierpinski Insieme
di Mandelbrot Insiemi
di Julia Frattali
di Newton Drago
frattale Cattedrale
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L'INSIEME DI MANDELBROT
L'insieme di Mandelbrot è uno dei frattali giustamente più famosi. Esso è stato riprodotto con una vasta gamma di colori, e ogni volta ci colpisce per il suo aspetto magico.
Quanto segue può essere più agevolmente compreso scaricando il programma eseguibile Costruisci Mandelbrot passo passo.
Da un punto di vista matematico, l'insieme di Mandelbrot è un insieme connesso di punti nel piano complesso.
Consideriamo il piano cartesiano, in cui a ogni punto P corrispondono due coordinate - immagina più o meno la battaglia navale..- (a,b). Nel piano complesso, il punto P si trova in corrispondenza biunivoca con il numero complesso w = a + ib .
Partiamo da un punto P0 nel piano complesso e applichiamo successivamente le seguenti iterazioni:
Z0 = 0
Z1 = Z02 + P0
Z2 = Z12 + P0
Z3 = Z22 + P0
. . .
Ovviamente ad ogni numero Z corrisponde un diverso punto, che ha una determinata distanza dall'origine.
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Si può vedere che, mentre alcuni punti si allontanano rapidamente dall'origine, altri si allontanano dopo un maggior numero
di iterazioni, e infine altri, per quante iterazioni si facciano, rimangono
sempre all'interno di un cerchio di centro l'origine e raggio 2
(detto cerchio critico). |
Il procedimento precedente viene ripetuto per tutti i punti del piano complesso.
Ora non resta altro da fare che "accendere" sullo schermo ogni punto con il colore corrispondente al numero di iterazioni che gli occorrono per sfuggire dal cerchio critico. Se il punto resta confinato al suo interno (fig.3 della tabella) assume il colore nero.
Risulteranno perciò dello stesso colore tutti i punti che, secondo la successione di Mandelbrot, escono dal cerchio dopo lo stesso numero di iterazioni.
L'insieme di Mandelbrot è perciò il confine
dell'insieme di punti che "scappano" verso l'infinito.
E noi, osservando i colori, possiamo stimare la loro velocità di fuga. |