Pagina iniziale

Introduzione
Che cosa sono i frattali?
Come si realizzano i frattali?
Area Download

CARATTERISTICHE

Autosimilarità
Perimetro infinito e area finita
Dimensione non intera
Struttura complessa a tutte le scale di riproduzione
Dinamica caotica

PERSONAGGI

Niels Fabian Helge von Koch
Waclaw Sierpinski
Gaston Maurice Julia
Benoit Mandelbrot

TIPI DI FRATTALI

Curva di von Kock
Triangolo di Sierpinski
Tappeto di Sierpinski
Insieme di Mandelbrot
Insiemi di Julia
Frattali di Newton
Drago frattale
Cattedrale frattale
Icebergs frattali
Alberi frattali
Curva logistica
Nuvole frattali

FRATTALI E REALTA'

...fisiologia umana
...arte
...musica
...altri campi

Bibliografia e indirizzi utili

L'INSIEME DI MANDELBROT

L'insieme di Mandelbrot è uno dei frattali giustamente più famosi. Esso è stato riprodotto con una vasta gamma di colori, e ogni volta ci colpisce per il suo aspetto magico.

Anche noi vogliamo presentare un piccolo album di ingrandimenti, mentre è possibile, se si vuole, esplorare liberamente l'insieme di Mandelbrot scaricando il programma eseguibile Esplora Mandelbrot, che consente di scegliere il colore preferito, nonché di ottenere immagini tridimensionali.

Quanto segue può essere più agevolmente compreso scaricando il programma eseguibile Costruisci Mandelbrot passo passo.

Da un punto di vista matematico, l'insieme di Mandelbrot è un insieme connesso di punti nel piano complesso.

Consideriamo il piano cartesiano, in cui a ogni punto P corrispondono due coordinate - immagina più o meno la battaglia navale..- (a,b). Nel piano complesso, il punto P si trova in corrispondenza biunivoca con il numero complesso w = a + ib .

Partiamo da un punto P₀ nel piano complesso e applichiamo successivamente le seguenti iterazioni:

Z₀ = 0
Z₁ = Z₀² + P₀
Z₂ = Z₁² + P₀
Z₃ = Z₂² + P₀
. . .

	Si può vedere che, mentre alcuni punti si allontanano rapidamente dall'origine, altri si allontanano dopo un maggior numero di iterazioni, e infine altri, per quante iterazioni si facciano, rimangono sempre all'interno di un cerchio di centro l'origine e raggio 2 (detto cerchio critico).

Ora non resta altro da fare che "accendere" sullo schermo ogni punto con il colore corrispondente al numero di iterazioni che gli occorrono per sfuggire dal cerchio critico. Se il punto resta confinato al suo interno (fig.3 della tabella) assume il colore nero.
Risulteranno perciò dello stesso colore tutti i punti che, secondo la successione di Mandelbrot, escono dal cerchio dopo lo stesso numero di iterazioni.

L'insieme di Mandelbrot è perciò il confine dell'insieme di punti che "scappano" verso l'infinito.
E noi, osservando i colori, possiamo stimare la loro velocità di fuga.