Pagina iniziale

Introduzione
Che cosa sono i frattali?
Come si realizzano i frattali?
Area Download

CARATTERISTICHE

Autosimilarità
Perimetro infinito e area finita
Dimensione non intera
Struttura complessa a tutte le scale di riproduzione
Dinamica caotica

PERSONAGGI

Niels Fabian Helge von Koch
Waclaw Sierpinski
Gaston Maurice Julia
Benoit Mandelbrot

TIPI DI FRATTALI

Curva di von Kock
Triangolo di Sierpinski
Tappeto di Sierpinski
Insieme di Mandelbrot
Insiemi di Julia
Frattali di Newton
Drago frattale
Cattedrale frattale
Icebergs frattali
Alberi frattali
Curva logistica
Nuvole frattali

FRATTALI E REALTA'

...fisiologia umana
...arte
...musica
...altri campi

Bibliografia e indirizzi utili

Una funzione consiste di due insiemi, detti dominio e codominio, e di una macchina per funzioni che segue queste regole: la macchina per funzioni può accettare in lavorazione soltanto elementi dell'insieme dominio e produrre soltanto elementi dell'insieme codominio; la macchina per funzioni è non ambigua, cioè lo stesso dato in ingresso produce sempre lo stesso dato in uscita; ogni elemento dell'insieme codominio può essere ottenuto inserendo nella macchina un opportuno elemento dell'insieme dominio. Presentiamo ora una piccola macchina per funzioni, costruita da noi, che è molto limitata: è capace soltanto di raddoppiare un numero naturale minore di 10000. In questo caso perciò l'insieme dominio è costituito da tutti i numeri naturali minori di 10000, mentre il codominio dall'insieme dei numeri pari minori di 20000. Macchina per funzioni che calcola il doppio di un numero naturale minore di 10000 Inserisci un numero naturale minore di 10000 Immagine? Nota come la macchina sia inflessibile nel seguire la regola I: se si prova a inserire una lettera o un numero che non appartiene al dominio, immediatamente si riceve un messaggio di errore.

Come si vede, abbiamo a disposizione una macchina molto efficiente che, non appena inseriamo un dato iniziale, ci restituisce, senza sbagliare,il risultato, o per meglio dire, la sua immagine.

I matematici scriverebbero f(x)=2x, x è un numero naturale < 10000.

Ora, nel caso dei frattali, c'è un'idea in più: forniamo alla nostra macchina il primo dato, e lei calcola il primo risultato, le ordiniamo di ripetere il calcolo usando come dato di partenza il risultato così trovato e così, continuando, abbiamo realizzato un sistema di funzioni iterate.

ESEMPIO

Vogliamo sapere quale sarà il capitale di cui disporremo (montante) dopo cinque anni, versando in banca la somma di un milione di lire, al tasso del 10%, senza effettuare, nel detto periodo, né prelievi né versamenti.
Il calcolo è di tipo iterativo: in effetti il capitale di partenza per l'anno successivo è rappresentato dal capitale più gli interessi su di esso maturati l'anno precedente. Così:

1. C₀=1000000
2. C₁=C₀*1.1
3. C₂=C₁*1.1
4. C₃=C₂*1.1
5. C₄=C₃*1.1
6. C₅=C₄*1.1
7. Scrivere il risultato.

Il ciclo che segue è la traduzione, in forma sintetica ed utilizzabile da una macchina per funzioni, delle regole esposte.

• C₀=1000000
• tasso=0.1
• Ripeti per 5 volte:
  • C₁=C₀*(1+tasso)
  • C₀=C₁
    
• Fine ciclo
• Scrivi il risultato.

 I matematici scriverebbero Cn+1 = f(Cn) 

Le leggi che regolano la formazione dei frattali sono anche esse di tipo iterativo: dal loro ripetersi all'infinito derivano le proprietà caratteristiche dei frattali stessi. Nella riproduzione al computer, necessariamente, il numero di iterazioni è finito, ma ci fa comunque intravedere l'immagine che si ottiene.
Nella sezione Tipi di frattali proponiamo un approfondimento sui frattali più noti.