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Introduzione
Che cosa sono i frattali?
Come si realizzano i frattali?
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CARATTERISTICHE

Autosimilarità
Perimetro infinito e area finita
Dimensione non intera
Struttura complessa a tutte le scale di riproduzione
Dinamica caotica

PERSONAGGI

Niels Fabian Helge von Koch
Waclaw Sierpinski
Gaston Maurice Julia
Benoit Mandelbrot

TIPI DI FRATTALI

Curva di von Kock
Triangolo di Sierpinski
Tappeto di Sierpinski
Insieme di Mandelbrot
Insiemi di Julia
Frattali di Newton
Drago frattale
Cattedrale frattale
Icebergs frattali
Alberi frattali
Curva logistica
Nuvole frattali

FRATTALI E REALTA'

...fisiologia umana
...arte
...musica
...altri campi

Bibliografia e indirizzi utili


PERIMETRO INFINITO
AREA FINITA

Calcoliamo il perimetro e l'area del fiocco di neve di von Kock.

Partiamo da un triangolo equilatero di lato l=1 unità di misura.
La prima trasformazione sostituisce ogni suo lato (che, come abbiamo detto, è stato scelto come unità di misura) con quattro segmenti di 1/3 di unità. Si ottiene un poligono concavo che ha 12 lati e 12 vertici.

Il perimetro del triangolo, che è equilatero, è di 3 unità, mentre quello del poligono ottenuto è di 4 unità (3 x 4 x 1/3).

Ripetiamo la trasformazione: otterremo un nuovo poligono che avrà 48 lati (4 per ognuno dei precedenti), ognuno di lunghezza di 1/9 di unità. Il suo perimetro sarà di 48/9 unità = 16/3 unità = (4 x 4/3) unità.
Continuiamo a trasformare la curva. Il suo perimetro moltiplica ogni volta la sua lunghezza per i suoi 4/3, cosicché, proseguendo all'infinito, tende a infinito.


Ogni trasformazione aggiunge una piccola area all'interno della curva ma questa, anche "complicandosi", è sempre racchiusa da un cerchio di area finita.

Ecco dunque un esempio di linea infinita che comprende una superficie finita.

Essa sarà più di una linea, ma meno di una superficie. Il criterio giusto per studiarla è quello di esaminarne la dimensione. Vedremo anche come questo apparente paradosso, apparso come un mostro agli occhi dei contemporanei di von Koch, è invece efficacemente usato dalla Natura.

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