Introduzione
Che
cosa sono i frattali?
Come
si realizzano i frattali?
Area
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CARATTERISTICHE
Autosimilarità
Perimetro
infinito e area finita
Dimensione
non intera
Struttura
complessa a tutte le scale di riproduzione
Dinamica
caotica
PERSONAGGI
Niels
Fabian Helge von Koch
Waclaw
Sierpinski
Gaston
Maurice Julia
Benoit
Mandelbrot
TIPI DI FRATTALI
Curva
di von Kock
Triangolo
di Sierpinski
Tappeto
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FRATTALI E REALTA'
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Cattedrale frattale
Si tratta di ripetere, su scale sempre più piccole, lo stesso schema architettonico.
La cattedrale si ottiene come unione di quattro trasformazioni: Si tratta di trasformazioni lineari (cioè rappresentabili da equazioni di primo grado) contrattive, di rapporto diverso lungo i due assi orizzontale e verticale. T1 : x' = x / 3; y' = 0.8 * y T2 : x' = x / 3 + 1 / 3; y' = y / 5 T3 : x' = x / 3 + 2 / 3; y' = 0.8 * y T4 : x' = x / 3 + 1 / 3; y' = 0.46 * y + 0.8 Iterando il procedimento si ottengono via via le stesse forme, ogni volta più piccole di un terzo, una dentro l'altra, fino ad ottenere la cattedrale. |  |
 | Non è affatto necessario partire dai cinque vertici della casetta iniziale, ma si può ottenere lo stesso risultato partendo anche da un solo punto, ad esempio di coordinate (0,0) per arrivare alla stessa forma. Si dice che la cattedrale è un attrattore per il sistema di funzioni iterate considerate. Questo metodo si applica anche per costruire felci, alberi, montagne eccetera. Il risultato che si ottiene è previsto dal teorema di Renato Cacciopoli, matematico, morto suicida nel 1959 (ricordato nel film "Morte di un matematico napoletano"): Sia T una trasformazione geometrica (eventualmente ottenuta come composizione di più trasformazioni) contrattiva. Allora, fissata comunque una figura di partenza F0 , la successione delle iterate Fn+1 = T(Fn) costituisce una approssimazione sempre migliore dell'attrattore F=T(F) del processo.
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