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Introduzione
Che cosa sono i frattali?
Come si realizzano i frattali?
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CARATTERISTICHE

Autosimilarità
Perimetro infinito e area finita
Dimensione non intera
Struttura complessa a tutte le scale di riproduzione
Dinamica caotica

PERSONAGGI

Niels Fabian Helge von Koch
Waclaw Sierpinski
Gaston Maurice Julia
Benoit Mandelbrot

TIPI DI FRATTALI

Curva di von Kock
Triangolo di Sierpinski
Tappeto di Sierpinski
Insieme di Mandelbrot
Insiemi di Julia
Frattali di Newton
Drago frattale
Cattedrale frattale
Icebergs frattali
Alberi frattali
Curva logistica
Nuvole frattali

FRATTALI E REALTA'

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Bibliografia e indirizzi utili

DIMENSIONE DEL TRIANGOLO DI SIERPINSKI

Prendiamo un segmento e raddoppiamo la sua lunghezza. Otteniamo due copie del segmento originale.   2=21
Prendiamo ora un rettangolo e raddoppiamo la lunghezza di entrambe le sue dimensioni. Otteniamo quattro copie dell'originale.   4=22
Se triplichiamo la lunghezza di entrambe le sue dimensioni otteniamo invece nove copie dell'originale.   9=32
Prendiamo un cubo e raddoppiamo la lunghezza del suo lato. Otteniamo così otto copie dell'originale.   8=23 Se quadruplicassimo la lunghezza del lato, otterremmo ben sessantaquattro copie dell'originale!   64=43

In generale, se n è il numero di ingrandimenti lineari, il numero di copie è rappresentato da una potenza di base n e di esponente la dimensione.

Sulla base di queste premesse calcoliamo la dimensione del triangolo di Sierpinski.

Raddoppiamo dunque il lato di un triangolo di Sierpinski: ci si aspetterebbe di ottenere quattro copie dell'originale, invece esse sono soltanto tre. (Ricordiamoci di non contare i buchi!)

Impostiamo dunque l'equazione 3 = 2^d dove d è la dimensione.

Ora, poiché 2¹ = 2, e 2² = 4, il nostro numero deve essere compreso fra 1 e 2.

Ecco in evidenza il paradosso apparente dei frattali: sono più di una linea ma meno di una superficie.

Se sai risolvere un'equazione esponenziale, otterrai facilmente che

d =log₃ 2 = log3/log2 = 1,5849625....

Altrimenti, potrai arrivare a questo valore per successive approssimazioni secondo il procedimento che segue.