Caratteristiche dei frattali
La dimensione può essere definita, in modo più consono ai nostri scopi, nel seguente modo:
Se n è il numero di ingrandimenti lineari, indichiamo con f(n) il numero di copie dell'oggetto. (figure 1 - 5)
Si ha che f(n) è rappresentato dalla potenza di base n e di esponente la dimensione.
Dunque possiamo scrivere f(n) = nd
Si ha quindi d =logn[f(n)] = log[f(n)]/logn
Prendiamo un segmento e raddoppiamo la sua lunghezza. Otteniamo due copie del segmento originale. 2=21 In generale otteniamo tante copie quanto è il numero di ingrandimenti. Si ha che f(n) = n. Dunque d=1 |
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Figura 1 |
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Figura 2 |
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Figura 3 |
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Figura 4 |
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Nel caso dei frattali possiamo calcolare la dimensione, tenuto conto della loro autosimilarità, applicando la definizione nel passaggio fra il passo iniziale ed il primo passo: ad esempio, nel caso della curva di Koch, vediamo che abbiamo 4 segmenti ognuno di lunghezza=1/3 della precedente. Dunque la dimensione è log(4)/ log(3) ≈ 1.26 La curva di Koch è più di una linea e meno di una superficie! |
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Figura 5 | |||||
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La dimensione ci dà un'indicazione di quanto sia complicata una
figura autosimile e ci fa capire come i frattali occupino spesso un posto "a
metà" fra oggetti ad una o a due dimensioni, oppure fra zero ed una
dimensione!
E' possibile trovare una lista molto fornita di frattali con relativa
dimensione su
Wikipedia.
Abbiamo anche un approfondimento sulla
dimensione del triangolo
di Sierpinski.
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