il problema delle tangenti alle curve frattali

Caratteristiche dei frattali

Nel XVII secolo Newton e Leibniz crearono il calcolo differenziale che, dal punto di vista geometrico, permette, fra l'altro, di trovare la tangente ad una curva in un dato punto. Fissiamo ad esempio un punto P su una circonferenza. Le infinite rette passanti per P intersecano di norma la circonferenza anche in un punto distinto da P, e sono dette secanti. Scegliamo ora due secanti che intersechino la circonferenza in due punti distinti: se questi due punti si avvicinano a P da due parti opposte, avremo che le due secanti si fondono in un'unica retta, detta tangente. La tangente in un punto è quindi immaginata come la posizione limite cui tende una qualunque secante alla curva quando tende a zero la distanza di due suoi punti di intersezione dal punto stesso. In altri termini la pendenza di una qualunque secante si stabilizza quando due punti si avvicinano fin quasi a toccarsi. Se quindi immaginiamo di ingrandire la curva in un intorno del punto di tangenza, essa è simile ad una retta.
Se una curva non è continua in un punto, ad esempio se presenta un salto, l'idea di tangente in quel punto perde di significato. Esistono tuttavia punti, detti angolosi, in cui una curva è continua ma, poiché cambia bruscamente direzione, non ammette tangente. Ad esempio nella figura a destra il punto A è un punto angoloso. In questo caso, avvicinando i due punti al punto A, le secanti non tendono a coincidere, ma restano distinte; pertanto concludiamo che nel punto A la curva non ammette tangente. Tali punti sono di norma eccezionali, ed il calcolo differenziale si è sviluppato prescindendo da questi casi cosiddetti patologici.

Ora, se ingrandiamo una qualunque porzione di un frattale (immaginiamo addirittura di osservarli al microscopio) essa è simile all'intero frattale. Ecco che ogni irregolarità permane sotto qualunque scala di riproduzione. Ad esempio gli infiniti vertici del fiocco di neve di Koch sono tutti punti angolosi, così come quelli del triangolo di Sierpinski. La lunghezza dei lati tende invece a zero, per cui non si riesce a trovare alcuna zona "regolare" che ammetta tangente. In generale i frattali sono delimitati da un contorno infinitamente irregolare costituito di soli punti angolosi.
Il problema della tangente non va affatto sottovalutato: la scoperta di un metodo generale per la sua determinazione fu essenziale per la risoluzione di importantissime questioni che hanno dato vita alla scienza moderna. Su di esso poggiano ad esempio tutte le leggi della fisica classica, della meccanica, dell'ingegneria. La peculiarità dei frattali di non avere tangente rende però inefficace un approccio classico allo studio delle loro proprietà. D'altra parte la semplicità del procedimento costruttivo di molti di essi permette di affrontarne lo studio in maniera efficace, soprattutto grazie alla possibilità di visualizzazione grafica e alla potenza di calcolo offerte dal computer.
Quello che poteva sembrare a prima vista un problema si rivela così un'utile risorsa per affrontare, come vedremo, numerosi aspetti della realtà che non si prestano ad un approccio classico.

Introduzione Autosimilarità
Perimetro e area
Dimensione Tangenti
Struttura complessa

Dinamica caotica
Indice Home Contatti