Caratteristiche dei frattali
Le leggi matematiche che generano i frattali sono molto semplici, pur tuttavia basta una minima variazione in un parametro per determinare una trasformazione significativa delle figure finali.
Si usa dire che l'aspetto di un oggetto frattale dimostra un'estrema sensibilità alle condizioni di partenza che usiamo per costruirlo: nel caso del triangolo di Sierpinski, che è generato da un'equazione di primo grado, tuttavia, si riconosce sempre la forma iniziale. Invece i frattali generati da equazioni almeno di secondo grado sono esempi tipici di sistemi caotici.
La parola caos richiama alla mente uno stato di totale
disordine e si usa per indicare appunto tutte quelle situazioni nelle quali non
si riesce ad individuare una regola.
"...a quegli spari successe il caos,
e nessuno capì più nulla..." recita il Manzoni.
Del resto già gli antichi
greci chiamavano caos la materia primordiale senza ordine che preesisteva
al cosmos, cioè all'universo ordinato.
Precipitare nel caos sembra quindi finire in un mondo senza leggi, senza
sicuri sviluppi, nel mondo della casualità: tutto l'opposto, quindi, di ciò che
siamo abituati a ricomprendere nell'ambito della scienza.
Così riconosciamo
ordinato il mondo della natura quando possiamo predire con millimetrica
precisione non solo la data della prossima eclisse ma anche la zona dove si
potrà ammirare meglio lo spettacolo; se la scienza non sa darci risposte esatte
in alcuni casi, immaginiamo che questo accada perché le leggi che governano
certi fenomeni sono troppo difficili per essere comprese dall'uomo almeno fino a
questo momento. (Come diceva Bertrand Russel, filosofo del nostro secolo, le
leggi della Natura sono semplici perché non siamo capaci di scoprire quelle
difficili...).
In effetti, il metodo adottato dalla scienza classica tende a
trascurare tutti quei fenomeni che non possono essere previsti esattamente,
relegando nella sfera del disordine certe turbolenze o irregolarità che pure
spesso convivono nella realtà di tutti i giorni.
Facciamo un esempio: se gettiamo due barchette
una accanto all'altra in un fiume che scorre lento e placido, esse rimarranno a
lungo vicine, e subiranno la stessa sorte; se però il corso d'acqua si trasforma
in una rapida, la loro rotta non sarà prevedibile e molto probabilmente le
barchette potranno trovarsi lontane. Nell'immagine a lato, è rappresentato il
moto di due barche (uno in rosso e l'altro in blu). All'inizio i moti si
sovrappongono, e infatti si vede soltanto la linea rossa, poi invece spesso
prendono direzioni del tutto diverse. Questo significa che, a partire dalla
stessa posizione iniziale, la posizione successiva non è predicibile. Perché?
Forse che la turbolenza porta con sé il caso? E' qui che entra in gioco la
teoria del caos, intesa in senso moderno, matematico.
L'attuale definizione di caos è tutta qui: "la sensibilità alle condizioni di partenza". Ma cerchiamo di spiegarci meglio.
Le leggi della natura permettono di predire con sicurezza molti fenomeni naturali: dal ritorno delle comete alle eclissi, alle
maree.
Alcuni aspetti della realtà sono però molto difficili da descrivere e da interpretare. Le condizioni atmosferiche, ad esempio, diventano imprevedibili a lungo termine,
perché ogni piccola variazione nelle condizioni attuali si amplifica e si ingigantisce in breve tempo: tutto questo anche se l'atmosfera ubbidisce a leggi fisiche ben precise che esprimono, ad esempio, il legame fra pressione e temperatura, fra pressione e velocità del vento e così via.
Questa sensibilità alle condizioni iniziali è detta effetto farfalla, da quando, nel 1972, il meteorologo Edward Lorenz raccontò, per illustrare la difficoltà di predire a lungo termine certe turbolenze climatiche, di come sia possibile, teoricamente,
che un battito d'ali di una farfalla
in Brasile provochi un tornado in Texas.
Che cosa intendeva dire in realtà?
Edward Norton Lorenz, meteorologo presso il MIT (Massachusetts Institute of Technology), morto a Cambridge, in Massachusetts, il 16 aprile 2008 all'età di novant'anni, ed uno tra i più grandi meteorologi di tutti i tempi, aveva sviluppato al computer un modello delle condizioni atmosferiche. Anche se i suoi risultati non erano utili per le previsioni del tempo reale, tuttavia erano realistiche nel riprodurre la sua variabilità , e in particolare nel non presentarsi mai in aspetto identico a se stesso. Nel 1961, avendo fretta, inserì nel suo computer dei numeri approssimati a tre cifre decimali invece che a sei come faceva di solito. Ora, ci si aspetta che se le condizioni iniziali sono approssimativamente simili, e si seguono le leggi naturali, anche il comportamento finale non varia di molto. Senza questa regola, la fisica non avrebbe fatto grandi passi avanti,
perché spesso la realtà è talmente complicata che occorre trascurarne vari aspetti.
Quello che apparve agli occhi di Lorenz fu invece una parte
simile, ma una parte totalmente diversa. Dopo un iniziale smarrimento, egli si
era reso conto che sebbene i frattali non presentino la stessa turbolenza di un
uragano, essi tuttavia costituiscono un buon modello per lo studio di molte
perturbazioni, proprio per la loro dinamica caotica.
Prima di Lorenz, ai primi del 1900, era stato Poincaré a parlare dell'estrema
sensibilità di un sistema alle condizioni di partenza quando aveva affrontato il
problema dei tre corpi.
Le sue valutazioni sono all'origine della teoria del caos.
Nel nostro sito abbiamo pubblicato la curva logistica, una bella immagine della possibilità che il caos spunti fuori anche da una semplice equazione.
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