L'INSIEME DI CANTOR

Lo scopo di Cantor nel proporre questo strano insieme era di dimostrare che si può avere un insieme con un numero infinito non numerabile di punti  ma di lunghezza nulla.
L'insieme è costruito seguendo il seguente metodo iterativo in cui il passo zero corrisponde alla figura di partenza non ancora trasformata:

  1. Prendiamo come figura di partenza un segmento: poniamo per comodità la lunghezza = 1
  2. Eliminiamo dal segmento la terza parte centrale: otteniamo 2 segmenti di lunghezza = 1/3
  3. Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 2 segmenti che si sono così formati: otteniamo 4 segmenti di lunghezza = 1/9
  4. Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 4 segmenti che si sono così formati: otteniamo 8 segmenti di lunghezza = 1/27
Osserviamo che ogni volta il numero di segmenti si raddoppia, mentre la lunghezza di ciascuno di essi diventa 1/3 della precedente.
E' quindi facile dedurre che al passo k: Un importante assioma della geometria ci assicura che è possibile dividere un segmento in un qualsiasi numero di parti uguali: il procedimento sopra descritto potrà essere ripetuto senza limite. Come figura limite si ottiene  l'insieme di Cantor, un frattale.
Le sue caratteristiche? Senza dubbio sorprendenti. Osserviamole.
Come varia la lunghezza ?

La lunghezza della figura diventa ogni volta i 2/3 della precedente, infatti ogni volta eliminiamo la terza parte centrale di ognuno dei segmenti. Al crescere del numero dei passi la lunghezza complessiva della curva diventa 0 in quanto la somma totale dei segmenti eliminati è pari a:

Resta però un insieme di infiniti punti sconnessi: ad esempio i punti 0, 1, 1/3, 2/3, 1/9, 2/9... appartengono tutti all'insieme.
Il fatto dipende dalla costruzione dell'insieme: poiché ad ogni stadio successivo è rimosso un intervallo adiacente al precedente, ogni estremo di un intervallo rimosso non verrà più eliminato. L'insieme di Cantor , per la sua forma peculiare, prende anche il nome di polvere

Qual è la dimensione?

Consideriamo il secondo passo della costruzione della figura: abbiamo 2 segmenti identici ciascuno dei quali è simile al precedente ed esattamente di lunghezza uguale ad 1/3 del precedente.
Dunque la dimensione dell'insieme di Cantor è log 2 / log 3, approssimabile a 0.630929...
Esso è più di un punto, ma meno di una linea!
E' autosimile?

La risposta è affermativa, infatti la struttura che osserviamo in scala normale viene ripetuta infinite volte all'interno della scala più piccola, e la possiamo ritrovare qualsiasi sia la potenza della lente d'ingrandimento che usiamo.
L'insieme di Cantor presenta quindi pienamente le caratteristiche di un frattale.


 

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