Lo scopo di Cantor nel proporre questo strano insieme era di dimostrare che si può avere un insieme con un numero infinito non numerabile di punti  ma di lunghezza nulla.
L'insieme è costruito seguendo il seguente metodo iterativo in cui il passo zero corrisponde alla figura di partenza non ancora trasformata:

0. Prendiamo come figura di partenza un segmento: poniamo per comodità la lunghezza = 1
1. Eliminiamo dal segmento la terza parte centrale: otteniamo 2 segmenti di lunghezza = 1/3
2. Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 2 segmenti che si sono così formati: otteniamo 4 segmenti di lunghezza = 1/9
3. Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 4 segmenti che si sono così formati: otteniamo 8 segmenti di lunghezza = 1/27

• la misura di un lato è 3^-k [ricordo che 3^-k = (1/3)^k];
• il numero di segmenti è 2^k.

Come varia la lunghezza ?	La lunghezza della figura diventa ogni volta i 2/3 della precedente, infatti ogni volta eliminiamo la terza parte centrale di ognuno dei segmenti. Al crescere del numero dei passi la lunghezza complessiva della curva diventa 0 in quanto la somma totale dei segmenti eliminati è pari a: Resta però un insieme di infiniti punti sconnessi: ad esempio i punti 0, 1, 1/3, 2/3, 1/9, 2/9... appartengono tutti all'insieme. Il fatto dipende dalla costruzione dell'insieme: poiché ad ogni stadio successivo è rimosso un intervallo adiacente al precedente, ogni estremo di un intervallo rimosso non verrà più eliminato. L'insieme di Cantor , per la sua forma peculiare, prende anche il nome di polvere
Qual è la dimensione?	Consideriamo il secondo passo della costruzione della figura: abbiamo 2 segmenti identici ciascuno dei quali è simile al precedente ed esattamente di lunghezza uguale ad 1/3 del precedente. Dunque la dimensione dell'insieme di Cantor è log 2 / log 3, approssimabile a 0.630929... Esso è più di un punto, ma meno di una linea!
E' autosimile?	La risposta è affermativa, infatti la struttura che osserviamo in scala normale viene ripetuta infinite volte all'interno della scala più piccola, e la possiamo ritrovare qualsiasi sia la potenza della lente d'ingrandimento che usiamo.

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