Lo scopo di Cantor nel proporre questo strano insieme era di dimostrare che
si può avere un insieme con un numero infinito non numerabile di punti ma
di lunghezza nulla.
L'insieme è costruito seguendo il seguente metodo iterativo in cui il passo zero corrisponde alla figura di partenza non ancora trasformata:
Come varia la lunghezza ? |
La lunghezza della figura diventa ogni volta i 2/3 della precedente, infatti ogni volta eliminiamo la terza parte centrale di ognuno dei segmenti. Al crescere del numero dei passi la lunghezza complessiva della curva diventa 0 in quanto la somma totale dei segmenti eliminati è pari a:
Resta però un insieme di infiniti punti sconnessi: ad esempio i punti 0, 1, 1/3, 2/3, 1/9, 2/9... appartengono tutti all'insieme. Il fatto dipende dalla costruzione dell'insieme: poiché ad ogni stadio successivo è rimosso un intervallo adiacente al precedente, ogni estremo di un intervallo rimosso non verrà più eliminato. L'insieme di Cantor , per la sua forma peculiare, prende anche il nome di polvere Qual è la dimensione?
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Consideriamo il secondo passo della costruzione della figura: abbiamo 2 segmenti identici ciascuno dei quali è simile al precedente ed esattamente di lunghezza uguale ad 1/3 del precedente. | Dunque la dimensione dell'insieme di Cantor è log 2 / log 3, approssimabile a 0.630929... Esso è più di un punto, ma meno di una linea! E' autosimile?
| La risposta è affermativa, infatti la struttura che osserviamo in scala normale viene ripetuta infinite volte all'interno della scala più piccola, e la possiamo ritrovare qualsiasi sia la potenza della lente d'ingrandimento che usiamo.
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