metodo di Barnsley - caos e oggetti frattali - Eliana Argenti e Tommaso Bientinesi

Concetti introduttivi sui frattali

IL METODO IFS SVILUPPATO DA MICHAEL E. BARNSLEY

IFS è l'acronimo di Iterated Function System, sistema di funzioni iterate. Il metodo IFS fu ideato da John Hutchinson nel 1871, quindi sviluppato da Michael Barnsley.
Si applica ad un singolo punto una trasformazione geometrica contrattiva, scelta a caso fra un certo numero di trasformazioni. Il punto ottenuto viene disegnato sullo schermo, e costituisce il nuovo punto di partenza a cui applicare un'altra trasformazione, sempre scelta a caso fra lo stesso gruppo.

ESEMPIO

Consideriamo la funzione f(x)=0,25x+3. Si tratta di una funzione lineare, che trasforma segmenti in segmenti.
Il segmento di estremi 0 e 1, che ha lunghezza 1, viene trasformato nel segmento di estremi 3 e 3,25, che ha lunghezza 0,25. Quindi abbiamo a che fare con una trasformazione contrattiva.
Applichiamo la funzione ad un punto a caso, quindi al numero che abbiamo ottenuto come risultato e così via.
Vedremo che, dopo alcune iterazioni, arriveremo al valore 4, che è detto punto fisso, e questo indipendentemente dal punto di partenza.
Notiamo espressamente che 4 è la soluzione dell'equazione x=0,25x+3.
In altri termini l'iterazione sembra adatta a risolvere l'equazione x=f(x).

Macchina iterativa per funzioni che calcola il trasformato di un numero mediante la funzione iterata 0.25x+3
Inserisci un numero

Ci accorgiamo però che questo risultato non è sempre valido: se ad esempio consideriamo la funzione f(x)=3x-1, vediamo che questa ammette come punto fisso 1/2, che è la soluzione dell'equazione x=3x-1.
Tuttavia, se proviamo ad applicare questa funzione in modo iterativo ad un numero, vediamo che, a meno che non introduciamo in ingresso proprio il numero 0.5, otteniamo sempre che i valori via via ottenuti divergono.
La ragione è da ricercarsi nel fatto che la nostra funzione non è contrattiva: il segmento di estremi 0 e 1, che ha lunghezza 1, viene trasformato nel segmento di estremi 2 e 5, che ha lunghezza 3.

Macchina iterativa per funzioni che calcola il trasformato di un numero mediante la funzione iterata 3x-1
Inserisci un numero

Il risultato che abbiamo visto dall'esempio è dimostrato dal teorema di Renato Cacciopoli, matematico, morto suicida nel 1959 (ricordato nel film "Morte di un matematico napoletano"):

Sia T una trasformazione geometrica (eventualmente ottenuta come composizione di più trasformazioni) contrattiva. Allora, fissata comunque una figura di partenza F0 , la successione delle iterate Fn+1 = T(Fn) costituisce una approssimazione sempre migliore dell'attrattore F=T(F) del processo.

Ma torniamo ai frattali. Si parte in questo caso dal frattale già formato e se ne osservano le peculiarità. Nell'esempio del triangolo di Sierpinski si nota che esso è composto da tre triangoli, ognuno di lato metà di quello di partenza, disposti, tanto per fissare le idee, uno in basso a sinistra, uno in basso a destra, uno in alto.
Lo stesso schema peraltro si ripete su ognuno dei tre triangoli sopra menzionati: possiamo allora immaginare la figura finale come sequenze di:

contrazioni di un mezzo;
spostamenti, ogni volta anch'essi dimezzati
basso - sinistra
alto
basso - destra

da applicare su ognuna delle scritte che man mano si formano. APPROFONDIMENTO

Partendo da un punto a caso e scegliendo, sempre casualmente, una delle trasformazioni, presto vedremo formarsi sullo schermo la forma del triangolo di Sierpinski.
Il punto di partenza non ha effetto sulla forma finale del frattale; invece questa dipende dal tipo di funzioni prescelte (ne costituisce l'attrattore) ed anche dalla probabilità con cui una certa funzione può essere estratta. Un particolare frattale IFS è dunque definito dalle regole usate per trovare, e disegnare, il punto successivo e dalla probabilità di scegliere una particolare funzione fra quelle di base. Se le funzioni sono lineari il frattale che si ottiene è deterministico, altro è il caso delle funzioni non lineari: veder, come esempio, la curva logistica.

Barnsley ed i suoi collaboratori dimostrarono che, affinché tutte le parti della figura si riempiano con la stessa velocità, è opportuno che la probabilità con cui sia scelta una particolare trasformazione sia proporzionale all'area che essa occupa sull'attrattore.
Nel caso del triangolo di Sierpinski le probabilità sono le stesse; in altri casi, come ad esempio nella felce, la scelta di probabilità diverse dà luogo a forme anche molto diverse: questo dipende dalla velocità con cui la figura si forma. Piccole variazioni del codice dell'immagine producono figure dall'aspetto leggermente diverso: questa particolarità viene adoperata per simulare, ad esempio, il movimento delle fronde mosse dal vento.
il fatto di poter ottenere compiutamente una curva solo attraverso pochi numeri che rappresentano i parametri delle trasformazioni rende il metodo ricco di potenzialità. Nascono tuttavia due problemi: uno riguarda la possibilità di codificare una qualsiasi figura attraverso un numero finito di trasformazioni, al quale risponde il teorema del collage di M. Barnsley: " è sufficiente ricoprire un'immagine con piccole copie della stessa deformate con continuità" ; uno, non ancora risolto, riguarda la possibilità di trovare il collage minimo che ricopra una figura.

Questo metodo, sicuramente, rappresenta una importante novità. I metodi analizzati precedentemente sfruttavano l'applicazione ciclica di processi costruttivi abbastanza intuitivi: ad esempio il triangolo di Sierpinski si otteneva "asportando" successivamente parti del triangolo di partenza, mentre nel fiocco di Koch si "aggiungevano" di volta in volta triangolini. Il metodo L-System prevede la trasformazione ad ogni passo di tutti i lati già disegnati. Barnsley, invece, pensò di partire da un punto e spostarlo, scegliendo a caso tra le trasformazioni di base, in successive posizioni che, quasi per magia, si rivelano appartenenti al frattale finale.
E' proprio magia? Ovviamente no. Si tratta invece di una importante conseguenza dell'autosimilarità. Questo fatto costituisce però anche un limite, infatti il metodo di Barnsley è applicabile solo a frattali autosimili

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Realizzazione

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