IL TRIANGOLO DI SIERPINSKI
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Questo è costruito seguendo il seguente metodo iterativo in cui il passo zero corrisponde alla figura di partenza non ancora trasformata:
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Prendiamo come figura di partenza un triangolo equilatero: poniamo per comodità il lato = 1
- Eliminiamo dalla sua superficie il triangolo che ha come lati i
segmenti che uniscono i punti medi dei lati del triangolo precedente: otteniamo 3 triangoli di lato = 1/2
- Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 3 triangoli che si sono così formati: otteniamo 9 triangoli di lato = 1/4
- Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 9 triangoli che si sono così formati: otteniamo 27 triangoli di lato = 1/8
- Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 27 triangoli che si sono così formati: otteniamo 81 triangoli di lato = 1/16
Osserviamo che ogni volta il numero di triangoli si triplica, mentre il lato di ciascuno di essi si dimezza.
E' quindi facile dedurre che al passo k:
- la misura di un lato è 2-k [ricordo che 2-k = (1/2)k];
- il numero di triangoli è 3k.
Un importante assioma della geometria ci assicura che è possibile dividere un segmento in un qualsiasi numero di parti uguali: il procedimento sopra descritto potrà essere ripetuto senza limite. Si ottiene così il triangolo di Sierpinski, un frattale.
Caratteristiche:
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autosimilitudine:
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Come si osserva dalla figura a destra,
il triangolo ha la caratteristica peculiare che, se ne ingrandiamo anche una
piccola parte, riproduciamo in scala la stessa figura di partenza.
APPROFONDIMENTO
- Perimetro infinito:
- Il perimetro del triangolo diventa ogni volta i 3/2 del precedente,
infatti i triangoli si triplicano restando simili a se stessi mentre il
loro lato si dimezza. Possiamo dunque affermare che, al crescere del
numero dei passi, anche il perimetro crescerà indefinitamente: esso tende
ad infinito quando anche il numero di passi tende ad infinito.
APPROFONDIMENTO
Area nulla:
- L'area del triangolo diventa ogni volta i 3/4 della precedente,
infatti ad ogni passo viene eliminato da ogni triangolo il triangolo
formato dalle parallele ai tre lati che uniscono i punti medi dei lati
stessi. Possiamo dunque affermare che, al crescere del numero dei passi,
l'area decrescerà indefinitamente: essa tende a zero quando il numero di
passi tende ad infinito.
- Dimensione frazionaria:
- il base al nostro metodo possiamo dedurre che la dimensione del
triangolo di Sierpinski è log3/log2 =
1,5849625.... essa è più di una linea e meno di una superficie!
APPROFONDIMENTO
- Si tratta inoltre di una curva continua che non ammette tangente in nessun
punto.
Nell'Area Download è possibile scaricare il programma che disegna
il triangolo di Sierpinski scegliendo il numero di iterazioni.
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