FRATTALE DI CESARO

Si tratta di una generalizzaione della curva di von Koch, con angolo compreso fra 60 e 90.

COSTRUZIONE

Si parte da un segmento AE, e si sostituisce ad esso la spezzata ABCDE costruita come in figura:

Ripetendo il procedimento su ogni segmento ottenuto si ottiene il frattale di Cesaro.
Nel caso particolare di α = 60 si ottiene la curva di von Koch.

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DIMENSIONE
La dimensione del frattale di Cesaro non fissa, visto che dipende dall'angolo α. Ogni volta otteniamo 4 copie del segmento precedente, ognuna di misura 1/
Applicando la formula d =logn[f(n)] = log[f(n)]/logn, presentata su dimensione non intera - seconda parte, abbiamo che: Vediamo alcuni casi particolari (le soluzioni sono data con 5 cifre significative):
α = 60d = ln(4)/ln(1 + 2cos60) = ln(4)/ln(3) = 1.26186
α = 72d=ln(4)/ln(1 + 2cos 72) = ln(4)/ln(2.61803) = 1.44042
α = 85d=ln(4)/ln(1 + 2cos 85) = ln(4)/ln(2.17431) = 1.78482
α = 90d=ln(4)/ln(1 + 2cos 90) = ln(4)/ln(2) = 2
Nel caso di α = 90, la dimensione non risulta frazionaria, pertanto il frattale rientra nelle "Curve di Peano"
Come si vede dalle immagini in basso, dopo i primi 6 passi la curva tende a riempire un triangolo rettangolo isoscele.

 


APPROFONDIMENTO DI MATEMATICA E PROGRAMMA


 

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