curva di Niels Fabian Helge von Koch - caos e oggetti frattali

Questa è costruita seguendo il seguente metodo iterativo:

Si divide un segmento in tre parti uguali.
Si sostituisce il segmento centrale con altri due segmenti in modo da formare un triangolo equilatero privo della base.
Si ripete il procedimento su ognuno dei quattro segmenti così ottenuti.
Si ripete il procedimento indefinitamente.

Si ottiene una curva di tipo frattale che ha le seguenti caratteristiche:

autosimilitudine:

Come si osserva dalla figura, la curva ha la caratteristica peculiare che, se ne ingrandiamo anche una piccola parte, riproduciamo in scala la stessa figura di partenza.
APPROFONDIMENTO

Perimetro infinito:

Ad ogni passo il perimetro diventa 4/3 di quello del passo precedente, visto che ogni segmento viene sostituito con una spezzata formata da 4 segmenti ognuno lungo 1/3 del segmento stesso.
Al tendere dei passi all'infinito anche il perimetro tende ad infinito.
Questo ci richiama la famosa domanda di Mandelbrot: "Quanto è lunga la costa della Bretagna?"
APPROFONDIMENTO

Area finita:

Il contorno del frattale, pur avendo lunghezza infinita, racchiude un'area limitata.

Si dimostra infatti che l'area racchiusa dal fiocco di neve é S =
Sottraiamo da S l'area del triangolo equilatero di partenza del fiocco di neve:
Dividiamo per 3:otteniamo l'area della parte di piano sottesa dalla curva di von Koch:

Dimensione frazionaria:
- il base al nostro metodo possiamo dedurre che la dimensione della curva di von Koch è log(4)/ log(3) ≈ 1.26; essa è più di una linea e meno di una superficie!
  APPROFONDIMENTO
Si tratta inoltre di una curva continua che non ammette tangente in nessun punto.

Nell'Area Download è possibile scaricare il programma che disegna la curva di von Koch scegliendo il numero di iterazioni.

Curva