curva di Niels Fabian Helge von Koch - caos e oggetti frattali

CURVA DI VON KOCH

Ecco la curva frattale di von Koch costruito con il metodo di sostituzione.

Questa è costruita seguendo il seguente metodo iterativo:

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Si divide un segmento in tre parti uguali.
Si sostituisce il segmento con gli altri due lati di un triangolo equilatero che abbiano la stessa lunghezza della parte rimossa.
Si ripete il procedimento su ognuno dei quattro segmenti così ottenuti.
... e così via, indefinitamente.

Si ottiene una curva di tipo frattale che ha le seguenti caratteristiche:

perimetro infinito: infatti ad ogni passaggio la sua misura diventa 4/3 della precedente;
autosimilitudine: infatti, se ne ingrandiamo anche una piccola parte, riproduciamo in scala la stessa figura di partenza;
dimensione frazionaria:

Si tratta inoltre di una curva continua che non ammette tangente in nessun punto.

Tale curva, straordinaria, e che da alcuni fu considerata un mostro matematico, entusiasmò invece altri studiosi, come il matematico italiano Ernesto Cesàro, professore di calcolo infinitesimale a Napoli, che scrisse, nei suoi Remarques sur la courbe de von Koch (1905):

"questa similitudine tra il tutto e sue parti, fino agli infinitesimi, ci porta a considerare la curva di von Koch alla stregua di una linea veramente meravigliosa tra tutte. Se fosse dotata di vita" - aggiunge- " non sarebbe possibile annientarla senza sopprimerla al primo colpo", poiché, "in caso contrario rinascerebbe incessantemente dalle profondità dei suoi triangoli, come la vita nell' universo".

Cesàro infatti propose un'interessante generalizzazione della curva di von Koch.

Nell'area download è possibile scaricare un programma in Visual Basic che traccia la curva passo per passo.

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