Per costruire il frattale di Apollonio si prende come figura di partenza la parte di piano compresa fra tre circonferenze tangenti a due a due (triangolo curvilineo):
E' possibile osservare tale figura di partenza nell'immagine in basso a destra. Essa costituisce il passo zero della costruzione. Cliccando su Successivo si può osservare lo sviluppo del frattale per i primi quattro passi; cliccando su Precedente si può tornare indietro.
Osserviamo che le linee sono ingrandite per permettere una migliore visualizzazione delle immagini; i passi sono numerati nell'elenco puntato:

0. Prendiamo come figura di partenza la parte di piano delimitata da tre circonferenze tangenti a due a due (triangolo curvilineo).
1. Eliminiamo dalla sua superficie il cerchio tangente ai tre cerchi.
2. Ripetiamo il procedimento su ognuna delle 3 regioni che si sono così formate: otteniamo 9 triangoli curvilinei
3. Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 9 triangoli curvilinei che si sono così formati: otteniamo 27 triangoli curvilinei
4. Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 27 triangoli curvilinei che si sono così formati: otteniamo 81 triangoli curvilinei
5. Ripetiamo il procedimento senza limite...

Osserviamo che ogni volta il numero di triangoli curvilinei si triplica, mentre il raggio dei cerchi tangenti, pur diminuendo, non varia secondo un rapporto costante
Ecco quindi che abbiamo un esempio di frattale non autosimile.

Se volete realizzare personalmente il triangolo di Apollonio, potete copiare il codice da frattale di Apollonio realizzato con il tag html5 canvas e javascript: come sapete, si tratta di linguaggi gratuiti e disponibili per tutti.