IL SETACCIO DI APOLLONIO CON IL METODO IFS

setaccio di Apollonio

Oltre al frattale, costruito con metodo geometrico passo per passo, presentiamo una costruzione del setaccio di Apollonio, costruito con metodo IFS.
Abbiamo trovato una trattazione su questo frattale su Apollony Fractal scritto da Paul Bourke.

Partiamo da un punto P0(x + iy) nel piano complesso e applichiamo la seguente trasformazione:

z0 = 3 / (1 + √3 - z) + (1 - √3)      dove z = x+iy e z0 = x0+iy0

La trasformazione si può ottenere mediante la simmetria assiale rispetto alla retta di equazione x=1 seguita dall'inversione circolare rispetto al cerchio di centro
C((1 - √3), 0) e raggio √3

Svolgendo i calcoli otteniamo:

Nell'immagine a fianco il punto P si trasforma prima nel punto A e quindi nel punto Q.
Cliccando sui collegamenti si possono visualizzare o il trasformato di un grigliato in cui ad ogni segmento corrisponde la curva con lo stesso colore, o un suo ingrandimento; oppure si torna all'immagine attuale.

Trasformato di un grigliato      Ingrandimento      Trasformato di un punto

Scegliamo ora a caso, con la stessa probabilità, una delle tre seguenti trasformazioni:

1 z1 = z0

Svolgendo i calcoli otteniamo:
x1 = x0
y1 = y0

 

2

z1 = 1/z0(-1 + i√3)
Si tratta di comporre le seguenti trasformazioni:
Simmetria rispetto all'asse reale;
inversione circolare rispetto al cerchio con centro nell'origine e raggio unitario;
rotazione di 120 con centro nell'origine

Svolgendo i calcoli otteniamo:
Posto

  • D = x02 + y02
  • Tx = x0 / D
  • Ty = -y0 / D
  • a1 = -1/2
  • b1 = √3
Si ha:
x1 = Txa1 - Tyb1
y1 = Txb1 + Tya1

Nell'immagine a fianco possiamo vedere come agisce la seconda trasformazione sullo stesso grigliato che abbiamo usato prima.

Cliccando sui collegamenti si possono visualizzare o un suo ingrandimento o la trasformazione completa a partire dal punto P(x+iy); oppure si torna all'immagine attuale.

Ingrandimento      Trasformazione completa      Immagine di partenza


3

z1 =1/z0(-1 - i√3)
Si tratta di comporre le seguenti trasformazioni:
Simmetria rispetto all'asse reale;
inversione circolare rispetto al cerchio con centro nell'origine e raggio unitario;
rotazione di 240 con centro nell'origine

Svolgendo i calcoli otteniamo:
Posto

  • D = x02 + y02
  • Tx = x0 / D
  • Ty = -y0 / D
  • a2 = -1/2
  • b2 = -√3
Si ha:
x1 = Txa2 - Tyb2
y1 = Txb2 + Tya2

Nell'immagine a fianco si visualizza la trasformazione completa a partire dal punto P(x+iy)



Al tendere dei passi all'infinito l'area del setaccio di Apollonio tende a zero mentre il perimetro tende ad infinito.
Non essendo la figura autosimile, non possiamo calcolare la sua dimensione con il metodo descritto per le figure autosimili, tuttavia la sua dimensione stata calcolata ed è circa 1.3058 (Mandelbrot 1983, p. 172)

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