CATTEDRALE FRATTALE CON IL METODO DI BARNSLEY

  Si tratta di un frattale IFS che ripete, su scale sempre più piccole, lo stesso schema architettonico.

La cattedrale si ottiene come unione di quattro trasformazioni: T1 U T2 U T3 U T4 rappresentate a fianco. Si tratta di trasformazioni lineari (cioè rappresentabili da equazioni di primo grado) contrattive, di rapporto diverso lungo i due assi orizzontale e verticale. T1 : x' = x / 3; y' = 0.8 * y T2  : x' = x / 3 + 1 / 3; y' = y / 5 T3 : x' = x / 3 + 2 / 3; y' = 0.8 * y T4 : x' = x / 3 + 1 / 3; y' = 0.46 * y + 0.8 Viene  estratto un numero casuale che ci permette di impostare la trasformazione a seconda del suo valore. Ogni trasformazione viene scelta con probabilità del 25%. Iterando il procedimento si ottengono via via le stesse forme, ogni volta più piccole di un terzo, una dentro l'altra, fino ad ottenere la cattedrale.

Non è affatto necessario partire dai cinque vertici della casetta iniziale, ma si può ottenere lo stesso risultato partendo anche da un solo punto, ad esempio di coordinate (0,0) per arrivare alla stessa forma. Si dice che la cattedrale è un attrattore per il sistema di funzioni iterate considerate. Questo metodo si applica anche per costruire felci, alberi, montagne eccetera. Pur se la paternità del metodo presentato è attribuita a Michael Barnsley, vogliamo richiamare il fatto che il risultato che si ottiene è previsto anche dal teorema di Renato Cacciopoli, matematico, morto suicida nel 1959 (ricordato nel film "Morte di un matematico napoletano"): Sia T una trasformazione geometrica (eventualmente ottenuta come composizione di più trasformazioni) contrattiva. Allora, fissata comunque una figura di partenza F0 , la successione delle iterate Fn+1 = T(Fn) costituisce una approssimazione sempre migliore dell'attrattore F=T(F) del processo.

La cattedrale nasce da un'idea di Paolo Sommaruga pubblicata sulla rivista "Le Scienze" n. 282, febbraio 1992, ed è stata da noi realizzata in Visual basic

©2002 www.webfract.it