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MATEMATICA CON JAVASCRIPT


CHIOCCIOLA DI PASCAL (LIMAÇON)

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CURVE DI EQUAZIONE POLARE ρ = a + bcos(kα)

CHIOCCIOLA DI PASCAL COME CONCOIDE DI UNA CIRCONFERENZA

Fissiamo nel piano una circonferenza di centro C e raggio r.
Fissiamo sulla circonferenza un punto O.
Per ogni punto A appartente alla circonferenza prendiamo i due punti P ed R che si trovino sulla semiretta OA e a distanza k da A.

La lumaca di Pascal pu essere definita come il luogo geometrico dei punti P ed R al variare di A sulla circonferenza (anzi, per essere esatti, basta che A vari in una delle due semicirconferenze in cui la circonferenza divisa dal diametro OD).

Riferiamoci alla FIGURA 1


Indichiamo con α l'angolo AÔC. Considerato che il triangolo AOC isoscele, possiamo ottenere facilmente le coordinate del punto A:
Ax = r + cos2α
Ay = sin2α

Il punto R ha coordinate

Rx = Ax + kcosα = r + cos2α + kcosα = (k + 2rcosα)cosα
Ry = Ay + ksinα = sin2α + ksinα = (k + 2rcosα)sinα
Dunque possiamo esprimere la chiocciola con l'equazione polare ρ = k + 2rcosα; 0 ≤ α < 2π

[per i passaggi cfr. la dimostrazione di pagina 2]


 

La forma della curva varia a seconda della relazione che esiste fra il diametro della circonferenza 2r e la distanza fissata k.

In analogia con quanto fatto con il primo caso trattato, distingueremo i casi k < 2r, k = 2r, k > 2r.


 

ANIMAZIONE

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AR = AQ = k < 2r
AR = AQ = k = 2r
AR = AQ = k > 2r

L' animazione proposta di seguito permette di osservare il formarsi della traccia mentre A si muove sulla circonferenza.

Abbiamo indicato con r il raggio della circonferenza, e con k la distanza fissa dei punti Q e R da A.

Dopo aver scelto la relazione fra r e k, cliccate sul pulsante "ANIMA"


 

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