Lumaca di Pascal pagina 1 - matematica con HTML5 canvas e JavaScript su webfract

Contatti	MATEMATICA CON JAVASCRIPT CHIOCCIOLA DI PASCAL (LIMAÇON) PAGINE 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 CURVE DI EQUAZIONE POLARE ρ = a + bcos(kα)

Immagine tratta da www.tommasobientinesi.it

Si ottiene per k = 1, dunque ha equazione polare ρ = a ± bcosα, a meno di rotazioni.
Contiene come caso particolare, per a = ± b, la cardioide; (guarda anche curve rodonee di equazione ρ = cosα e ρ = cos(α/3)).

Il nome limaçon di Pascal fu coniato per la curva dal matematico francese Roberval, nel 1650, per la sua forma simile ad un guscio di lumaca e in onore di Étienne, padre di Blaise Pascal, per l'approfondito studio che ne fece. Questa curva peraltro era nota agli antichi come la concoide del cerchio.

La curva, senza un nome, era stata pubblicata nel 1525 da Albrecht Dürer, nel suo Underweysung der Messung (Istruzioni sulla misura), la descriviamo a pagina 3.

Osserviamo alcuni grafici della curva, distinguendo il caso a ≥ b da quello a ≤ b (a ≥ 0, b > 0).

Nel caso di a ≥ b abbiamo inserito varie curve nella stessa immagine; nel caso di a ≤ b, invece, visto che le curve si sovrappongono, abbiamo preferito inserirne una per ogni immagine: occorre, in questo caso, un clic sull'immagine per vedere la chiocciola successiva.

Notate che

a ≥ 2b: il limaçon è convesso; nel caso limite a = 2b, il punto (-a, 0) ha curvatura nulla;
b ≤ a < 2b: il limaçon è concavo; a mano a mano che a si riduce rispetto a b, la concavità diventa più pronunciata, fino a diventare una cuspide per a = b: in questo caso la curva diventa una cardioide;
0 ≤ a < b: il limaçon presenta un anello, che si intreccia nell'origine; con il diminuire di a l'anello interno tende a riempire quello esterno, fino a che, per a = 0, il limaçon diventa un cerchio percorso due volte.

[cfr wikipedia]

COSTRUIRE UNA CHIOCCIOLA DI PASCAL COME EPICICLOIDE

Si definisce epicicloide, composto di epi (su) e cicloide, la curva generata da un punto di una circonferenza che rotola sulla superficie esterna di un'altra circonferenza: è un caso particolare dell' epitrocoide, dal greco επι (epi, "su") e τροχοιδήϛ (trocoidès: a forma di ruota), curva generata da un punto di una figura che rotola su di un'altra.

La lumaca di Pascal può essere definita come il percorso di un punto P fissato rispetto al centro di un cerchio di raggio r che sta rotolando senza strisciare intorno a un altro cerchio sempre di raggio r.

Il punto P può avere distanza d dal centro maggiore, uguale, o minore del raggio.

L' animazione proposta di seguito permette di osservare il formarsi della traccia durante il rotolamento: dopo aver scelto la posizione del punto, cliccate sul pulsante "ANIMA"