Le probabilità dipendono ora da quello che è successo nelle due estrazioni precedenti: abbiamo otto casi distinti.
Nella rappresentazione ad albero (Figura 1), in analogia con quanto abbiamo fatto nel caso delle due estrazioni, sui rami terminali abbiamo denotato con VVV l'evento "vengono estratti tre dei numeri giocati", con VVF l'evento "i primi due numeri estratti sono numeri giocati e il terzo no", ... con FFF l'evento " nessuno dei tre numeri estratti è uno dei numeri giocati".
La probabilità di uno qualsiasi di questi eventi è data dal prodotto delle probabilità scritte sul percorso che conduce ad esso, ad esempio:
p(FVF) = (84/90) × (6/89) × (83/88)
p(VVV) = (6/90) × (5/89) × (4/88)
Anche in questo caso abbiamo applicato direttamente la formula delle probabilità composte.
Osservando la tabella dei valori di probabilità si nota che gli eventi scritti con lo stesso colore sono equiprobabili. Riassumiamo il tutto
| V | Casi | Probabilità |
|---|---|---|
| 3 | 1 | (6×5×4)/(90×89×88) |
| 2 | 3 | 3(6×5×84)/(90×89×88) |
| 1 | 3 | 3(6×84×83)/(90×89×88) |
| 0 | 1 | (84×83×82)/(90×89×88) |
Come nel caso di due estrazioni, prepariamo uno schema.
| Estrazioni | Indovinati | Casi |
|---|---|---|
| 1° | 1 0 | 1 1 |
| 2° | 2 1 0 | 1 2 1 |
| 3° | 3 2 1 0 | 1 3 3 1 |
Nella terza estrazione possiamo indovinare tutti e 3 i numeri, oppure 2 numeri, oppure 1 solo numero, o, infine nessun numero: abbiamo scritto 3 2 1 0.
Possiamo indovinare tutti e 3 i numeri i numeri in un solo caso (che dopo VV otteniamo ancora V), 2 numeri in 3 casi (che dopo VV otteniamo F, che dopo VF otteniamo V, che dopo FV otteniamo V), 1 solo numero ancora in 3 casi (che dopo VF otteniamo F, che dopo FV otteniamo F, che dopo FF otteniamo V) e, infine, nessun numero in 1 caso (che dopo il primo FF otteniamo ancora F); abbiamo scritto 1 3 3 1.
prime tre estrazioni
Noterete che sia la seconda che la terza riga si ottengono disponendo 1 agli estremi e sommando ordinatamente le coppie di termini della riga superiore. Così, ad esempio, nella terza riga, abbiamo
Qual è la probabilità di indovinare 2 soli numeri sulle prime tre estrazioni del superenalotto?
Indichiamo con E2 l'evento "nelle prime tre estrazioni vengono estratti solo due dei numeri giocati "
p(E2) si può calcolare come somma delle probabilità dei tre cammini VVF - VFV - FVV
p(E2) = 3p(VVF) = 3p(VFV) = 3p(FVV)
Così facendo abbiamo applicato direttamente la formula delle probabilità totali per eventi incompatibili:
siano A e B due eventi casuali incompatibili. Allora la probabilità che se ne verifichi uno dei due è data dalla somma delle probabilità dei singoli eventip(A ∪ B) = p(A) + p(B)
- foto di Tommaso Bientinesi
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