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MATEMATICA CON JAVASCRIPT

EQUAZIONE GENERALIZZATA: ρ = a + bcos(kα)

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SOMMARIO

SIA k ∈ Q0

Si tratta del caso più generale, che comprende tutti i casi studiati finora.

Poniamo k = n/d, considerando solo frazioni positive e ridotte ai minimi termini.

DUE IMPORTANTI PROPRIETA'

  1. La curva si sviluppa completamente mentre α ∈ [0, 2πd], sia quando il prodotto nd è pari, sia quando è dispari.
  2. I parametri a e b agiscono sulla curva in questo modo:
    essa è sempre inscritta nella circonferenza di raggio a + b;
    la circonferenza di raggio |a - b| o è circoscritta ai petali di dimensione minore (quando a < b); quando a > b, la curva non passa per l'origine ed è compresa fra le circonferenze di raggio, appunto, |a - b|, e a + b.

PRIMO ESEMPIO

Consideriamo il caso n = 5; d = 3, e quindi nd = 15, che è dispari.

Le curve, rispettivamente di equazione polare

f: ρ = 2 + 4cos(5/3α),
g: σ = cos(5/3α)
sono state disegnate con colori diversi a intervalli di 3/5π.

Ogni 3/5π, |σ| = 1, dunque σ oscilla fra 1 e -1,
invece ρ oscilla fra 6 e -2.

Mentre la curva g si sviluppa completamente quando α = 3π, la f si sviluppa completamente quando φ = 6π; inoltre mentre la curva g ha 5 petali, la f ne ha 10, dei quali i 5 di dimensione maggiore sono inscritti nella circonferenza di raggio 2 + 4 = 6, mentre i 5 di dimensione minore sono inscritti nella circonferenza di raggio |2 - 4| = 2.

Nel caso in cui risulti a < b, la f non passa per l'origine.

Nel caso particolare in cui risulti a = b , anche la f ha 5 petali.

Dalle immagini in alto

SECONDO ESEMPIO

Consideriamo il caso n = 4; d = 3, e quindi nd = 12, che è pari.

Le curve, rispettivamente di equazione polare

f: ρ = 3 + 2cos(4/3α),
g: σ = cos(4/3α)
sono state disegnate con colori diversi a intervalli di 3/4π.

Ogni 3/4π, |σ| = 1, dunque σ oscilla fra 1 e -1,
invece ρ oscilla fra 5 e 1.

Entrambe le curve si sviluppano completamente quando φ = 6π; la curva g ha 8 petali, la f non passa per l'origine ed è compresa fra le circonferenze di raggio rispettivamente 3 + 2 = 5, e |3 - 2| = 1.

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