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MATEMATICA CON JAVASCRIPT

EQUAZIONE GENERALIZZATA: ρ = a + bcos(kα)

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SOMMARIO

SIANO k ∈ Z0; a = b; a ≠ 0

Ricordiamo che nel caso particolare in cui risulti k = 1 si ottiene una cardioide. In generale:

  1. a = b = 1; k intero e maggiore di zero. Si ottiene, sia nel caso k pari che in quello dispari, una curva a k petali.


Come mai?

OSSERVATE LA COSTRUZIONE

Clic sull'immagine per vedere i passi successivi.

In questo esempio costruiamo la curva f di equazione polare ρ = 1 + cos(3φ), mettendola a confronto con la curva g di equazione ρ1 = cos(3φ), che abbiamo già studiato, ogni π/3.

Vedrete che, ogni π/3, |ρ1| = 1, dunque ρ1 oscilla fra 1 e -1, invece ρ oscilla fra 2 e 0.
In particolare:

  1. ρ = + 2 per φ = 0
  2. ρ = 0 per φ = π/3
  3. ρ = + 2 per φ = 2/3π
  4. ρ = 0 per φ = π
  5. ρ = + 2 per φ = 4/3π
  6. ρ = 0 per φ = 5/3π
  7. ρ = + 2 per φ = 2π: solo adesso il secondo estremo della curva è di nuovo in (2,0) e questa si chiude. [Infatti (x = cos2π = 1) and (y = sen2π = 0)]

SECONDO ESEMPIO

Clic sulle immagini per vedere i passi successivi.

In questo esempio costruiamo la curva f di equazione polare ρ = 1 + cos(2φ), mettendola a confronto con la curva g di equazione ρ1 = cos(2φ)

Vedrete che, ogni π/2, |ρ1| = 1, dunque ρ1 oscilla fra 1 e -1, invece ρ oscilla fra 2 e 0.

Entrambe le curve si sviluppano completamente quando φ = 2π, ma mentre la curva g ha 4 petali, la f ha solo 2 petali.

  1. a = b; k intero e maggiore di zero. L'unica differenza è nella misura della curva.

 

Riassumendo,

la curva ρ = 1 + cos(kφ) si chiude per φ = 2π, anche quando k è dispari; visto che si forma mezzo petalo ogni π/k, il numero di petali è k.

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