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MATEMATICA CON JAVASCRIPT


FIORI GEOMETRICI: CURVE RODONEE

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CURVE DI EQUAZIONE POLARE ρ = a + bcos(kα)

 

SECONDA COSTRUZIONE

Clic sull'immagine per vedere i passi successivi.

In questo esempio costruiamo la curva di equazione ρ = cos(4φ), e quindi di equazione parametrica (x = cos(4φ)cosφ) and (y = cos(4φ)senφ), ogni π/4.

Ogni π/4 ρ ha modulo 1 - infatti risulta |cos(4φ)| = 1 per 4φ = hπ, h intero -
In particolare:

  1. ρ = - 1 per φ = π/4
  2. ρ = + 1 per φ = π/2
  3. ρ = - 1 per φ = 3/4π
  4. ρ = + 1 per φ = π
  5. ρ = - 1 per φ = 5/4π
  6. ρ = + 1 per φ = 3/2π
  7. ρ = - 1 per φ = 7/4π
  8. ρ = + 1 per φ = : solo adesso il secondo estremo della curva di nuovo in (1,0) e questa si chiude. [Infatti (x = cos = 1) and (y = sen = 0)]

Riassumendo, le condizioni per cui la curva ρ = cos(kφ) si chiude sono due:
  1. [kφ = (2h+1)π] and [φ= (2c-1)π] con c intero positivo. (Caso di chiusura con φ = π e ρ = -1)
  2. OPPURE [kφ =2hπ] and [φ=2cπ], sempre con c intero positivo. (Caso di chiusura con φ = 2π e ρ = 1)

Di questi due casi dobbiamo trovare il pi piccolo c intero positivo tale che h sia intero, e se i due valori di c coincidono dobbiamo prendere il caso in cui la φ risultante minore. Nel primo caso h = kc - (k+1)/2, nel secondo caso h = kc.
Ovviamente, questo secondo valore maggiore del primo.
Se k dispari, k+1 pari, dunque h intero ∀ c, nelle condizioni poste.
Scegliendo c = 1 otteniamo φ = π. Se per esempio n=3, in entrambi i casi h intero per c = 1, ma il minore φ possibile si ha nel primo caso (φ = (2*c-1)π).
La seconda soluzione anche valida, e φ = 2π, ma al secondo giro la curva viene ricalcata.

Visto che si forma un petalo ogni π/k, il numero di petali k quando k dispari, e 2k quando k pari.


  1. k sia un numero razionale = n/d: allora, se il prodotto nd dispari, la curva si chiude a un angolo di πd, mentre, se nd pari, la curva si chiude a un angolo di 2πd.

    DUE ESEMPI

    Clic sulle immagini per vedere i passi successivi.

    Nel primo esempio osserviamo la curva di equazione ρ = cos(5/3φ) ogni 3/5π
    Dopo 3π la curva si chiude formando 5 petali.

    Nel secondo esempio osserviamo la curva di equazione ρ = cos(2/3φ) ogni 3/2π
    Dopo 6π la curva si chiuse formando 4 petali.

    Visto che si forma un petalo ogni πd/n, il numero di petali n quando nd dispari, e 2n quando nd pari.

  2. k sia un numero irrazionale: allora la curva ha infiniti petali, non chiusa ed densa rispetto a un qualsiasi punto del cerchio circoscritto.

ESEMPI

 


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