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FIORI GEOMETRICI: CURVE RODONEE

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CURVE DI EQUAZIONE POLARE ρ = a + bcos(kα)

 

Chiamiamo rodonea una curva piana di equazione polare ρ = a cos(kφ)     a, k numeri naturali > 0,

quindi di equazione parametrica (x = a ρ cosφ) and (y = a ρ senφ).

[In alternativa, possono essere anche usate le equazioni polari ρ = a sen(kφ); ρ = a cos(kφ - π) ; ρ = a sen(kφ - π)... che danno curve ruotate rispetto alla prima, come si vede dall'immagine in alto nella pagina.]

Riguardo ai parametri:

a
Ŕ una costante (ad esempio, potete usare l'unitÓ di misura che avete scelto nel vostro sistema di riferimento);
k
Ŕ una costante riguardo alla quale distinguiamo i seguenti casi:
  1. k sia un intero dispari: allora la curva relativa ha k petali.

    ESEMPIO

    Abbiamo colorato in tre modi diversi (rosso, verde e blu) gli archi formati dalla curva ogni π/3.
    Dopo π la curva si chiude formando 3 petali.


    In generale la curva si sviluppa completamente mentre φ varia fra 0 e π.
    Si chiude quando φ = π


  2. k sia un intero pari: allora la curva relativa ha 2k petali.

    ESEMPIO

    Abbiamo colorato in otto modi diversi gli archi formati dalla curva ogni π/4.
    Dopo 2π la curva si chiude formando 8 petali.


    In generale la curva si sviluppa completamente mentre φ varia fra 0 e .
    Si chiude quando φ = .

    APPROFONDIMENTO

    Consideriamo un riferimento cartesiano che abbia origine nel centro della circonferenza nella quale sono inscritte tutte le curve.
    Prendiamo a come unitÓ di misura.
    Tutte le curve partono dal punto (1,0) e per chiudersi devono tornare a questo punto.
    Disegnamo una curva con angolo variabile (kφ, k intero diverso da zero), di equazione polare ρ = cos (kφ).
    ρ oscilla periodicamente tra -1 e 1 ogni volta che cresce di π.
    Per chiudersi deve succedere o che sia multiplo dispari di π e φ sia multiplo dispari di π, oppure che sia multiplo di e φ sia multiplo pari di π.
    Nel primo caso si ha φ = π e ρ = -1, nel secondo caso si ha φ = e ρ = 1, quindi in entrambi i casi si finisce in (1,0).

    COSTRUZIONE

    Clic sull'immagine per vedere i passi successivi.

    In questo esempio mostriamo la curva di equazione ρ = cos(3φ), e quindi di equazione parametrica (x = cos(3φ)cosφ) and (y = cos(3φ)senφ), ogni π/3.

    Ogni π/3 ρ ha modulo 1 - infatti risulta |cos(3φ)| = 1 per 3φ = hπ, h intero -
    In particolare:

    1. ρ = - 1 per φ = π/3, ma il secondo estremo della curva Ŕ nel terzo quadrante.
    2. ρ = + 1 per φ = 2/3π, ma il secondo estremo della curva Ŕ nel secondo quadrante.
    3. ρ = - 1 per φ = π; ora il secondo estremo della curva Ŕ di nuovo in (1,0) e la curva si chiude. [Infatti (x = - cosπ = 1) and (y = - senπ = 0)]

     

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