MATEMATICA CON JAVASCRIPT![]() CHIOCCIOLA DI PASCAL (LIMAÇON) |
![]() |
|
APPROFONDIMENTO![]() Vogliamo costruire la chiocciola di equazione ρ = a + bcosα con il metodo indicato a pagina 1 Riferiamoci alla figura a sinistra (FIGURA 1). I due cerchi, c1 e c2, di centri rispettivamente A e B, hanno lo stesso raggio r = a/2. Il cerchio c1 è fisso, mentre c2 rotola senza strisciare intorno a c1. Al cerchio c2 è fissato un punto P, a distanza d da B uguale a b/2: il punto P descrive la chiocciola quando il cerchio c2 rotola e la sua posizione, ad ogni istante t, dipende dall'arco α descritto da B, centro di c2. Il centro di c1 è A(d,0). Dimostriamo che si ottiene l'equazione parametrica x(t) = (a + bcost)cost
![]() Riferiamoci alla FIGURA 2 Calcoliamo la posizione di P dopo che il cerchio rotante ha percorso l'arco α. Per trovare l'ascissa del punto P, calcoliamo la misura di OA + AH + BK (1) x = d + 2rcosα + dcos(2α) [Il triangolo ABH è rettangolo; i triangoli BPK e QBH sono simili; l'angolo HQB è esterno al triangolo AQB e quindi è congruente alla somma degli angoli non adiacenti, entrambi di ampiezza α (in radianti).]Per trovare l'ordinata del punto P, calcoliamo la misura di HB + KP y = 2rsenα + dsen(2α) Ricordando che cos2α = 2cos2α -1 e che sen2α = 2senαcosα, si ottiene: (2) [x(α) = (2 r + 2 d cosα)cosα] and [y(α) = (2 r + 2dcosα)senα] x(t) = (a + bcost)cost EQUAZIONE CARTESIANA DELLA CHIOCCIOLA DI PASCALL'equazione cartesiana del limaçon è (x2 + y2 -bx)2 = a2 (x2 + y2)
DIMOSTRAZIONE Dal sistema (2) ricaviamo, dividendo membro a membro le due equazioni, che y/x = tgα Ricordiamo che Sostituiamo questi valori nell' equazione (1). Ricaviamo Sostituiamo a tgα y/x. Ricaviamo: Svolgiamo i calcoli e isoliamo il radicale: Eleviamo al quadrato per eliminare il doppio segno, ed ecco l'equazione cartesiana della chiocciola di Pascal |
IN EVIDENZA DAL SITO
CALCOLATRICE
TARTAMONDO - PER BAMBINI
AREA GIOCHI
![]()
|
CURVE DI EQUAZIONE POLARE ρ = a + bcos(kα): Sommario
Matematica con javascript, area Canvas: Indice
Matematica con javascript Indice
©2002 - 2014 www.webfract.it