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Si ottiene per a = ± b e k = 1, dunque ha equazione polare ρ = a(1 ± cosα), a meno di rotazioni.

Il nome, derivante dal greco καρδιοειδήϛ (kardioeidès), cuoriforme, fu attribuito alla curva da Johann Castillon (Castiglione del Valdarno, 11 gennaio 1704 – Berlino, 11 ottobre 1791), matematico italiano, il cui vero nome era Giovanni Francesco Salvemini, in un articolo pubblicato da Philosophical Transactions della Royal Society nel 1741.

Si tratta dunque di una curva a forma di cuore - anche la matematica ha un cuore? -

Clic sull'immagine per vedere altre cardioidi.

Come potete vedere scorrendo le immagini, la cardioide può essere ottenuta, a meno di una rotazione rispetto all'origine degli assi, come grafico di varie equazioni polari, ad esempio:
ρ = 1 + cosα; ρ = 1 - cosα ρ = 1 + senα; ρ = 1 - senα.

Visto che sia il seno che il coseno di un angolo sono compresi fra -1 e 1, tutte le cardioidi sono tangenti internamente alla circonferenza di centro l'origine e raggio = 2a.

Se |a| = |b| > 1, variano solo le dimensioni della curva, pertanto basterà considerare il caso
|a| = |b| = 1

COME COSTRUIRE UNA CARDIOIDE

PRIMO METODO: COME EPICICLOIDE

Si definisce epicicloide, composto di epi (su) e cicloide, la curva generata da un punto di una circonferenza che rotola sulla superficie esterna di un'altra circonferenza: è un caso particolare dell' epitrocoide, dal greco επι (epi, "su") e τροχοιδήϛ (trocoidès: a forma di ruota), curva generata da un punto di una figura che rotola su di un'altra.

Come si vede dall'animazione, la cardioide può essere definita come il percorso di un punto fissato sulla circonferenza di un cerchio di raggio r che sta rotolando senza strisciare intorno a un altro cerchio sempre di raggio r.

Scegliendo il sistema di riferimento in modo che il cerchio fisso abbia centro nel punto (r,0), si ottiene l'equazione parametrica (1)

[ x(α) = r(1 + 2cosα + cos2α)] and y(α) = r(1 + 2senα + sen2α)]

Ricordando che cos2α = 2cos²α -1 e che sen2α = 2senαcosα, si ottiene:

[x(α) = 2r(1 + cosα)cosα] and [y(α) = 2r(1 + cosα)senα]
e, infine, ponendo a = 2r e α = t:

x(t) = a(1 + cost)cost
y(t) = a(1 + cost)sent

L'equazione cartesiana della cardioide è

APPROFONDIMENTO

DIMOSTRAZIONE

Posizione iniziale:
A(1,0); B(3,0); P(4,0); r = 1

Riferisciti alla FIGURA 2

Calcoliamo la posizione di P dopo che il cerchio rotante ha percorso l'arco α.

Per trovare l'ascissa del punto P, calcoliamo la misura di OA + AH + BK
x = 1 + 2 cos α + cos 2α
[Il triangolo ABH è rettangolo; i triangoli BPK e QBH sono simili; l'angolo HQB è esterno al triangolo AQB e quindi è congruente alla somma degli angoli non adiacenti.]

Per trovare l'ordinata del punto P, calcoliamo la misura di HB + KP
y = 2 sen α + sen 2α

Se il raggio è uguale a r, si ottiene, ovviamente, l'equazione (1)

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CURVE DI EQUAZIONE POLARE ρ = a + bcos(kα)

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