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MATEMATICA CON JAVASCRIPT


SPIRALI
Chiamiamo spirale la curva piana che, in generale, si avvolge in infiniti giri intorno a un punto, mentre si muove sempre più lontano da esso.

ESEMPIO ANIMATO: SPIRALE ARCHIMEDEA

Costruzione


Il programma simula il seguente dipositivo:

Una matita con la punta rossa scorre sulla semiretta Ox di origine O, coincidente all'inizio con il semiasse delle x positive, muovendosi di moto rettilineo uniforme.

Contemporaneamente la semiretta ruota con velocità angolare costante in verso antiorario.

Con la combinazione dei due moti precedenti si crea una spirale archimedea.

Cliccate sul pulsante:
  1. Solo P su s per osservare solo il movimento della matita lungo la semiretta nella sua posizione iniziale.
  2. Ruota s per visualizzare solo la rotazione della semiretta.
  3. Insieme per osservare i due movimenti in contemporanea e la formazione della spirale.
  4. AGGIORNA per cancellare tutto e ricominciare da zero.

NOTA BENE

- Prima di attivare un nuovo pulsante dovrete
  stoppare il movimento attuale.
- Per semplificare l'animazione i punti sono
  visualizzati ogni intervallo di tempo di 0.25s.

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SPIRALE ARCHIMEDEA DA UN PUNTO DI VISTA MATEMATICO

Intorno al 300 a.C. Archimede scoprì e teorizzò la spirale che porta il suo nome. Nell’opera “Sulle spirali” egli fornisce la seguente definizione di spirale:

supponiamo che una (semi)retta ruoti a velocità costante intorno alla sua origine rimanendo nel piano e che un punto partendo dall’origine si muova a velocità costante lungo la retta; allora il punto descriverà una spirale.
La spirale di Archimede rappresenta la traiettoria che descrive un punto movendosi di moto rettilineo uniforme su una semiretta che ruota a velocità costante intorno all’origine. [Tratto da Progetto Polymath]

Siano v la velocità costante con la quale il punto mobile P si muove sulla semiretta e ω la velocità angolare costante con la quale la semiretta ruota intorno al centro.

Cerchiamone l'equazione, supponendo che la posizione iniziale di P sia (0,0) e che α0 = 0.

Al generico istante t, la distanza OP è

(1)    ρ = vt

L’ampiezza dell’angolo percorso dalla semiretta a partire dal semiasse delle x positive è

(2)     α = ωt

Ricaviamo t dall'equazione (2) e sostituiamolo nell'equazione (1). Otteniamo

ρ = (v/ω)α

Ricordiamo che v/ω è costante: possiamo porre v/ω = k ⇒
⇒ ρ = kα (α ≥ 0; k ≠ 0)

E' questa l'equazione polare della spirale: viene messo in evidenza il fatto che la distanza dal centro del punto è proporzionale all'ampiezza dell'angolo coperto durante lo spostamento.

Indicando con (x,y) le coordinate del generico punto P, otteniamo quindi:

x(α) = (kα)cos(α)
y(α) = (kα)sen(α)

In generale, se indichiamo con ρ0 la posizione iniziale del punto rispetto al centro di rotazione, e con α0 l’angolo iniziale, otteniamo:

ρ = ρ0 + vt
α = α0 + ωt ⇒ α - α0 = ωt

Dunque, di nuovo ponendo v/ω = k, otteniamo ρ = ρ0 + k(α - α0)

Questo ci consente di scrivere l'equazione di una spirale archimedea conoscendo ρ0, α0 e k.

Spirale con ρ0, α0 e k variabili
 
 
 


Il programma permette di visualizzare la spirale di Archimede potendo variare i parametri ρ0, α0 e k.

Potete variarli agendo sui pulsantini '-' o '+' situati accanto alla relativa casella di testo.

Anche se è possibile anche inserire manualmente un valore, vi consigliamo di fare molta attenzione perché un inserimento errato potrebbe anche bloccare il computer.

Cliccate sul pulsante:
  1. TRACCIA per osservare il grafico della spirale in base ai parametri iniziali.
  2. AGGIORNA per riportare i valori iniziali.

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CURIOSITA'

 

Un esempio in natura della spirale archimedea può essere trovato nella tela di molte famiglie di ragni: la struttura portante è percorsa da una spirale che più o meno mantiene sempre la stessa distanza tra una spira e la successiva, per impedire la fuga delle prede.


L'immagine è tratta dalla pagina di Luciana Bertolini Ragnatele, dove potete vederne l'ingrandimento.

E questa è una "vera" ragnatela, costruita da noi con vari punti di una spirale archimedea uniti da segmenti. Non vi sembra efficiente?


Link utili

Math.it - La spirale di Archimede. Puoi anche scaricare un foglio elettronico e manipolare a tuo piacimento il passo con cui viene disegnata la spirale di Archimede. Abbiamo preso da lì l'idea per costruire la nostra ragnatela.

Matematicamedie - Spirale uniforme o di Archimede - Presenta, fra l'altro, un'attività tratta da Matematica nella Realtà di E. Castelnuovo, M. Barra che permette la costruzione a mano della spirale.


DAL NOSTRO SITO

Spirali frattali realizzate con il tag HTML5 canvas e javascript con codice.

 



 

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