HOME

Contatti

MATEMATICA CON JAVASCRIPT - AREA CANVAS


COME NASCONO I COLORI DELL'INSIEME DI MANDELBROT

Abbiamo già presentato il programma "Costruisci l'insieme di Mandelbrot con HTML5 canvas e javascript".

Ora ci domandiamo: come nascono i colori dell'insieme? Per dare una risposta, ne abbiamo costruiti due, uno accanto all'altro: un insieme costruito con 16 colori (FIGURA 1), a sinistra; lo stesso insieme ma con i colori più sbiaditi (FIGURA 2), a destra.


Vediamo l'output del programma attraverso l'esempio riportato nell'immagine in basso.

ESEMPIO

Il punto di partenza si sceglie mediante un clic sulla FIGURA 1; nell'esempio si tratta del punto C, che corrisponde al numero complesso +0.45 +0.64i [Nota: nella porzione di piano considerata -2 ≤ x ≤ 2; -2 ≤ y ≤ 2]
Scegliamo ora un procedimento per seguire il percorso del punto: o PASSO PER PASSO o COMPLETO.

Otterremo un'immagine simile a quella a lato, o gradualmente, o tutta insieme.

Risulteranno in sequenza le seguenti iterazioni:
Z0 = 0
Z1 = Z02 + C = +0.45 +0.64i; distanza = 0.78
Z2 = Z12 + C = +0.24 +1.21i; distanza = 1.24
Z3 = Z22 + C = -0.97 +1.23i; distanza = 1.57
Z4 = Z32 + C = -0.12 -1.72i; distanza = 1.75
Z5 = Z42 + C = -2.59 +1.07i; distanza = 2.80

La distanza > 2 viene raggiunta alla quinta tappa: il punto viene disegnato con il colore numero 6.

Ad ogni numero tra 0 e 15 corrisponde un colore. Il colore del punto è quindi scelto calcolando il resto della divisione del numero di tappe per 15 e aggiungendo 1. Se le tappe sono 70, il colore scelto è il nero.

Lasciamo infatti il nero (colore numero zero) al caso in cui il punto resti confinato all'interno del cerchi critico

IN EVIDENZA DAL SITO

 


www.tommasobientinesi.it

La passione per i viaggi e la natura nel nuovo sito di Tommaso Bientinesi

 



 

PROVA TU

Il programma permette di capire meglio come si forma l'insieme di Mandelbrot. Cliccando con il mouse su un punto dell'insieme a sinistra, potrai seguirne il percorso nelle varie iterazioni. Al termine, si accenderà, con il colore appropriato, il punto corrispondente nell'insieme di destra.

Il tuo browser non supporta the "canvas" tag Il tui browser non supporta the "canvas" tag
Scegli un'opzione


 

 

Se avete provato il programma avete potuto vedere che, mentre alcuni punti si allontanano rapidamente dall'origine, altri si allontanano dopo un maggior numero di iterazioni, e infine altri, per quante iterazioni si facciano, rimangono sempre all'interno di un cerchio di centro l'origine e raggio 2 (detto cerchio critico). Avete anche potuto vedere come punti molto vicini tra loro imbocchino in genere percorsi totalmente diversi. E' questo un esempio lampante di dinamica caotica.

Visto che abbiamo "acceso" sullo schermo ogni punto con il colore corrispondente al numero di iterazioni che gli occorrono per sfuggire dal cerchio critico, risultano dello stesso colore tutti i punti che, secondo la successione di Mandelbrot, escono dal cerchio dopo lo stesso numero di iterazioni (nel nostro esempio, in effetti, dopo un numero di iterazioni congruenti mod 15, ma nessuno ci vieta di immaginare un numero di colori, e di iterazioni, molto più ampio).
L'insieme di Mandelbrot è perciò il confine dell'insieme di punti che "scappano" verso l'infinito.
E noi, osservando i colori, possiamo stimare la loro velocità di fuga.

NOTA BENE - Gli utenti MSIE possono visualizzare il canvas solo se possiedono la versione dalla 9 in poi.

 

INDICE MATEMATICA CON JAVASCRIPT   -   INDICE GUIDA CANVAS

©2002 - 2013 www.webfract.it