MATEMATICA CON JAVASCRIPT

VORTICI DI POLIGONI REGOLARI E SPIRALI LOGARITMICHE: DIMOSTRAZIONE

PRECEDENTE - INDICE

PUNTO UNO

Riferiamoci, per cominciare, alla sequenza di punti A0, A1,... Anum

Costruiamo un sistema di riferimento polare in cui il polo coincida con il centro dei poligoni; indichiamo con
ρ0, ρ1,... ρnum i raggi vettori e con θ0, θ1,... θnum le anomalie.

Partenza
  1. ρ0 = 1 (raggio della circonferenza circoscritta)
  2. θ0 = metà dell'angolo interno del poligono
Passo 1
  1. ρ1 = qρ0
  2. θ1 = θ0 + p
Passo 2
  1. ρ2 = q2ρ0
  2. θ2 = θ0 + 2p

Coś continuando osserviamo che i raggi vettori variano in progressione geometrica di ragione q mentre gli argomenti variano in progressione aritmetica di ragione p.

Introduciamo ora il seguente

TEOREMA

Ogni successione di punti di un piano i cui moduli sono in progressione geometrica di ragione q e i cui argomenti sono in progressione aritmetica di ragione p, appartiene al ramo di spirale logaritmica S definita dall'equazione polare

DIMOSTRAZIONE PER INDUZIONE
Sia data la successione di punti {Piii)}
  1. P000) ∈ S. Infatti

  2. Se Pi-1i-1i-1) ∈ S, allora Piii) ∈ S. Infatti (ricordando che elnq = q)

IN CONCLUSIONE

I punti A0, A1,... Anum appartengono al ramo di spirale logaritmica di equazione S .

 

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