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MATEMATICA CON JAVASCRIPT


CALCOLO COMBINATORIO ONLINE
2 - Configurazioni con ripetizione


Configurazioni semplici
F
acciamo il punto.
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DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE
E POTENZE IN N


Dati i numeri naturali a e b, siano A e B due insiemi che abbiano rispettivamente a e b elementi.
Allora ab (potenza di base a ed esponente b) è il numero di applicazioni di B in A.

ESEMPIO

In un circolo culturale vengono nominati un presidente, un tesoriere e un segretario.
Quante possibilità ci sono per quanto riguarda il sesso di queste persone?

Per il presidente, riguardo al sesso, vi sono 2 possibilità; per ognuna di queste vi sono 2 possibilità riguardo al sesso del segretario; infine, per ognuna delle quattro precedenti, vi sono 2 possibilità riguardo al sesso del tesoriere.

VISUALIZZA IL DIAGRAMMA AD ALBERO

Nell'esempio risultano
A = {m,f} e B = {p,t,s}
Ad ogni elemento di B è associato uno e un solo elemento di A; ciascuno dei casi possibili corrisponde quindi a un'applicazione di B in A.

Definizione ed esempio tratti da Francesco Speranza - Alba Rossi Dell'Acqua, IL LINGUAGGIO DELLA MATEMATICA, Zanichelli, Bologna, 1988, pag 170


DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE E TOTOCALCIO


Nel gioco del totocalcio bisogna fare dei pronostici su tredici partite di calcio dei campionati di serie A, serie B e serie C.
Le scelte sono:
1 - per assegnare la vittoria alla squadra che gioca in casa;
2 - per assegnare la sconfitta alla squadra che gioca in casa;
X - per indicare un pareggio.

Si tratta di calcolare il numero delle disposizioni con ripetizione di tre elementi (1,X,2) presi 13 alla volta:

DR13,3 = 133 = 1.594.323

ANAGRAMMA DELLA PAROLA "MORO"
Nell'immagine in basso le lettere "O" sono una in rosso e l'altra in blu in modo da poterle distinguere.
In questo modo si notano tutti i 24 anagrammi, ma si vede anche che nella parte inferiore, colorata in giallo, si ripetono le stesse sequenze di caratteri della parte superiore.
Si contano pertanto 12 anagrammi distinti della parola MORO.

ANAGRAMMA DELLA PAROLA "MATEMATICA"

Nella parola, di 10 caratteri, ci sono
2 M, 2 T e 3 A.
Quindi dobbiamo trovare
P102,2,3 = P10/(P2P2P3) =
= 10!/(2!2!3!)= 151200

COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE E SOLUZIONI INTERE NON NEGATIVE DI UN'EQUAZIONE LINEARE IN n VARIABILI

Cerchiamo il numero delle soluzioni intere non negative dell'equazione x1 + x2 + x3 = 4

Ad esempio, una soluzione è (2,0,2), un'altra è (1,1,2)...Quante sono in tutto?
Osservando che 4 può essere visto come il numero di unità che si possono ripartire in 3 gruppi diversi, anche vuoti, ricaviamo che tale numero è dato da

CR3,4 = C7,4 = 15

Un modo per visualizzare le soluzioni è quello di scrivere ogni numero > 0 come sequenza di 1 e di separare le sequenze con + (al posto di 0 non si scrive nulla).
Ad esempio
(2,0,2) → 11++11
(1,1,2) → 1+1+11
(4,0,0) → 1111++
Ogni volta componiamo una sequenza di 1 e + in modo tale che gli 1 sono sempre in numero pari alla somma delle soluzioni, mentre i + sono in numero pari a 3 -1 = 2


COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE E SOLUZIONI INTERE POSITIVE DI UN'EQUAZIONE LINEARE IN n VARIABILI

Cerchiamo il numero delle soluzioni intere positive dell'equazione x1 + x2 + x3 + x4 = 10

In tal caso, cominciamo ad attribuire 1 ad ognuno degli xn: il numero di 1 che restano da distribuire è k - n = 10 - 4 = 6 nei 4 gruppi.
I modi possibile per farlo sono CR4,6 = 84




 




DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE    

Definizione

Si dicono disposizioni con ripetizione di n oggetti distinti di classe k, tutti i gruppi che si possono formare con k degli n oggetti, eventualmente ripetuti, considerando distinti i gruppi che differiscono per almeno un elemento o per l'ordine.Il loro numero si indica con DRn,k. Risulta:

DRn,k = nk
NOTA In questo caso k, intero positivo, può essere anche maggiore od uguale ad n

Caratteristiche

  1. Conta l’ordine;
  2. sono ammesse ripetizioni.

Calcolo

DRn,k =

Esempio

Quanti numeri di 2 cifre si possono scrivere con le cifre {1,2,3}? Si tratta di calcolare DR3,2 = 32 = 9
Essi sono: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33.
PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE    

Definizione

Siano dati n oggetti di cui α identici e n - α distinti. Le permutazioni con ripetizione degli n oggetti sono tutti i gruppi che si possono formare con tutti gli n oggetti sotto la condizione che sia diverso l'ordine in cui compaiono gli oggetti stessi.
In questo caso il numero delle permutazioni con ripetizione è dato da:
Pnα = Pn/Pα = n!/α!
Analogamente, dati n oggetti di cui α identici fra loro, β identici fra loro, γ identici fra loro
(α + β + γ ≤ n), il numero delle permutazioni con ripetizione è dato da:
Pnα,β,γ = Pn/(PαPβPγ) = n!/(α!β!γ!)

Caratteristiche

  1. Ogni gruppo contiene tutti gli elementi;
  2. conta l’ordine;
  3. in ogni gruppo un elemento si ripete lo stesso numero di volte.

Calcolo

Pnα,β,γ =

NOTA BENE: α, β e γ vanno separati dalle virgole e senza lasciare spazi. Se si ha un solo gruppo di elementi ripetuti si scrive senza virgola finale; potete scrivere anche più di tre gruppi.

Esempio

Quanti sono gli anagrammi della parola MORO? Si tratta di calcolare P42 = P4 /P2 = 4!/2! = 12
Essi sono: MORO, OMRO, RMOO, OMOR, MOOR, MROO, ORMO, ROMO, OOMR, OROM, ROOM, OORM.
Quanti sono gli anagrammi della parola ANNA? Si tratta di calcolare P42,2 = P4 /(P2P2) = 4!/(2!*2!) = 6
Essi sono: ANNA, NNAA, NANA, NAAN, AANN, ANAN.

COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE    

Definizione

Si dicono combinazioni con ripetizione di n oggetti distinti di classe k, tutti i gruppi che si possono formare con k degli n oggetti, eventualmente con ripetizione, considerando distinti i gruppi che differiscono per almeno un elemento.Il loro numero si indica con CRn,k. Risulta:
CRn,k = Cn+k-1,k = n(n+1)...(n+k-1)/k! = (n + k - 1)! / [(n - 1)! k!]
NOTA In questo caso k, intero positivo, può essere anche maggiore od uguale ad n.

Caratteristiche

  1. Non conta l’ordine;
  2. sono ammesse ripetizioni.

Calcolo

Cn,k =

Esempio

Un'urna contiene 5 palle rosse (R) e 5 nere (N). Quante combinazioni diverse si possono fare con 5 estrazioni? Si tratta di calcolare CR2,5 = C6,5 = 6
Esse sono: RRRRR, RRRRN, RRRNN, RRNNN, RNNNN, NNNNN. Poi l'ordine non conta.


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