MATEMATICA CON JAVASCRIPT

PROPRIETA' DEL NUMERO AUREO E PIANO CARTESIANO

[1] - [2] - [3] - [4] - [5] - [6] - [7] - [8] - [9] - [10] - [11]

Le proprietà che andremo a verificare derivano direttamente dall'equazione (1)...

1. Φ è l'unico numero positivo che uguaglia il suo inverso aumentato di 1.

Φ = 1/Φ + 1

Da un punto di vista algebrico:

---

Riferimento cartesiano (Vedi figura):

Troviamo il punto P (di coordinate positive) di intersezione
dell'iperbole y = 1/x + 1 con la retta y = x

P ha coordinate (Φ, 1/Φ + 1) = (Φ,Φ);

UNA CONSEGUENZA INTERESSANTE

Φ si può approssimare mediante la frazione continua [1; 1,1,1…]. Infatti:

2. Φ è l'unico numero positivo che, aumentato di 1, uguaglia il suo quadrato.

Φ + 1 = Φ²

Da un punto di vista algebrico:

---

Riferimento cartesiano (Vedi figura):

Troviamo il punto P (di coordinate positive) di intersezione
della parabola y = x² con la retta y = x + 1
P ha coordinate (Φ, Φ²) = (Φ, Φ + 1);

Notiamo che il rettangolo OHPK è aureo.

Risulta infatti

3. Prima proprietà di conservazione decimale (ricavata dalla proprietà 1.)

   Il reciproco del numero aureo conserva la sua parte decimale:
   Φ = 1.6180339887...
   1/Φ = 0.6180339887...

4. Seconda proprietà di conservazione decimale (ricavata dalla proprietà 2.)

   Il quadrato del numero aureo conserva la sua parte decimale:
   Φ = 1.6180339887...
   Φ² = 2.6180339887...

Successivo: proprietà del rettangolo aureo

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Φⁿ = Φ^n-1 + Φ^n-2

Si tratta della generalizzazione delle proprietà 1. e 2. Dimostriamola per induzione.

1. L'affermazione è vera per n=1, infatti
   
   Φ = 1/Φ + 1 [PROPRIETA' 1]
   
   
2. Se l'affermazione è vera per n allora è vera per n+1, infatti: sia
   
   Φⁿ = Φ^n-1 + Φ^n-2
   

   allora

   Φⁿ⁺¹ = ΦΦⁿ = Φⁿ + Φ^n-1
   

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Riferimento cartesiano e soluzione grafica di un'equazione

è la soluzione positiva dell'equazione x² - x - 1 = 0

Per la sua importanza le è stato dato il nome di Φ

Abbiamo vari modi per risolvere graficamente l'equazione: il modo più usato è quello di trovare l'ascissa del punto di intersezione della parabola y = x² - x - 1 con il semiasse delle x positive.

Si risolve allora il sistema

Ecco il grafico

 

E' altresì possibile, naturalmente, trovare l'ascissa del punto di intersezione di due curve, purché il sistema abbia la stessa equazione risolvente, ad esempio

Ecco il grafico

 

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