Presentiamo la costruzione del pentagono per sostituzione; procederemo con metodo geometrico passo per passo.

FIGURA 1 Precedente Successivo

Nella figura a sinistra (FIGURA 1) potete vedere come si forma il frattale per i primi 4 passi cliccando su Successivo; se volete potete tornare indietro cliccando su Precedente. Questo è costruito seguendo il seguente metodo iterativo: Prendiamo come figura di partenza un pentagono regolare in cui supponiamo il lato unitario e il vertice in basso a destra coincidente con l'origine degli assi cartesiani. Sostituiamo la figura di partenza con 5 sue immagini simili così costruite: Omotetia di centro O e rapporto k = 0.382 (pentagono rosso). Omotetia di centro O e rapporto k = 0.382 seguita da traslazione di componenti (+ 0.618, 0) (pentagono arancione). Omotetia di centro O e rapporto k = 0.382 seguita da traslazione di componenti (+ 0.809, + 0.588) (pentagono verde). Omotetia di centro O e rapporto k = 0.382 seguita da traslazione di componenti (+ 0.951, + 0.588) (pentagono azzurro). Omotetia di centro O e rapporto k = 0.382 seguita da traslazione di componenti (- 0.191, + 0.588) (pentagono giallo). Ripetiamo il procedimento su ognuno dei cinque pentagoni ottenuti. Continuiamo........ NOTA BENE Il valore che usiamo per k è approssimato. Il suo valore esatto è k = 1 /[2(1+cos72°)] Vedi dettagli

Si ottiene il pentagono frattale di Sierpinski, un frattale che ha le caratteristiche sotto riportate.

• Perimetro infinito:
  • al passo zero abbiamo 5 lati di lunghezza 1 (abbiamo supposto per semplicità il lato unitario) e dunque il perimetro è 5
  • al passo uno abbiamo 25 segmenti di lunghezza k del lato di base.
    Dunque al passo uno il perimetro è 25k.
  • al passo due abbiamo 125 segmenti di lunghezza k² del lato di base.
    Dunque al passo due il perimetro è 125k² e così via.
  
  Si comprende che, ad ogni passo, il perimetro diventa 5k del precedente, ossia ≈ 1.910 volte il precedente!
  • Al passo n abbiamo P_n = (5k)ⁿ. Essendo poi 5k > 1, al tendere dei passi all'infinito il perimetro tende a infinito.
  
  
  
  
• Area finita:
  • la figura resta interna al pentagono di partenza, che, come ricordiamo, ha lato unitario.
    Se calcoliamo il valore approssimato dell'area, ponendo l'apotema = 0.688, l'area è 2.5 × 0.688 = 1.720
    Ad ogni passo l'area del singolo pentagono si riduce di k², mentre i pentagoni si quintuplicano; quindi l'area diventa 5k² ≈ 0.729 della precedente.
  • Al passo n abbiamo A_n = (5k²)ⁿ. Essendo poi 5k² < 1, al tendere dei passi all'infinito l'area tende a zero.
  
  
• autosimilitudine
  • nei passaggi successivi, ogni parte è costituita di parti ognuna delle quali ha la stessa configurazione dell'intero.
  
  
• dimensione frazionaria: log 5 / log (1/k) ≈ 1.6723 (5 copie con riduzione di k su ognuno dei lati del pentagono di partenza).