Prendiamo come figura di partenza un triangolo equilatero e poniamo per comodità il lato = 1 (lato unitario)

Dividiamo ogni lato del triangolo in tre parti uguali: sulla parte centrale di ogni lato costruiamo un nuovo triangolo equilatero: otteniamo un poligono concavo formato dall'unione del triangolo di partenza con i tre triangoli, che nell'immagine sono stati disegnati in giallo. Il contorno della figura è costituito da una spezzata di 12 segmenti ognuno dei quali ha lunghezza 1/3. L'area della figura è aumentata dell'area dei tre triangoli disegnati in giallo; ognuno di questi ha area uguale ad 1/9 (infatti si tratta di triangoli simili al triangolo dato, anch'esso equilatero, ed il loro lato è 1/3).
Ripetiamo il procedimento su ognuno dei sei triangoli equilateri esterni che si sono formati come nell'immagine a fianco nella quali i nuovi arrivati sono stati anche questa volta disegnati in giallo. Il contorno della figura è costituito da una spezzata di 48 segmenti ognuno dei quali ha lunghezza 1/9. L'area della figura è aumentata dell'area dei dodici triangoli disegnati in giallo; ognuno di questi ha area uguale ad 1/81.
Ripetiamo ancora il procedimento: si vede che, già in questo passo, i triangoli gialli sono piccoli rispetto all'immagine di partenza: infatti ognuno di essi ha lato uguale ad 1/27 del lato del triangolo di partenza. Cerchiamo una formula generale che ci esprima il perimetro, visto che comincia ad essere complicato contare i lati ad occhio: il numero di lati si quadruplica ogni volta, mentre la lunghezza del singolo lato diventa 1/3 della precedente. Potremo perciò concludere che abbiamo 144 segmenti ognuno di lunghezza 1/81 del lato di partenza. L'area è poi aumentata di quella dei 48 triangoli disegnati in giallo, ognuno dei quali ha area = 1/729.

Come varia il perimetro del fiocco di neve?	Il perimetro della figura diventa ogni volta i 4/3 del precedente e quindi tende a diventare infinito quando il procedimento si ripete all'infinito.
Come varia l'area del fiocco di neve?	Calcolare l'area è più complicato. Si può comunque osservare, attraverso considerazioni geometriche, che essa è finita; si dimostra poi che essa, per un triangolo di lato a, vale APPROFONDIMENTO

Ed ecco quindi due caratteristiche del fiocco di neve: Perimetro infinito;area finita.
Il contorno del fiocco di neve è inoltre l'unione di tre curve uguali autosimili: tre curve di von Koch costruite sui tre lati di un triangolo equilatero.
Per quanto riguarda la dimensione, visto che ad un segmento se ne sostituiscono 4 ognuno di lunghezza 1/3 del segmento dato, ricaviamo un valore di log(4)/ log(3) ≈ 1.26 APPROFONDIMENTO
Infine, osserviamo che il fiocco di neve non ammette tangente in nessun punto. APPROFONDIMENTO

 Nell'Area Download è possibile scaricare il programma che disegna il fiocco di neve di von Koch scegliendo il numero di iterazioni.

©2003 - 2007 www.webfract.it