ALBERI DI PITAGORA CON ANGOLI ACUTI QUALSIASI

albero frattale

Nella figura vediamo un albero di Pitagora con gli angoli acuti di 18 e 72, di seguito denominato con P18, nel quale abbiamo disegnato i quadrati pieni solo nell'ultima iterazione, la quindicesima, in modo da mettere maggiormente in risalto le spirali formate dai lati.
Questo, come tutti gli alberi di Pitagora con angoli acuti qualsiasi, si ottengono generalizzando le costruzioni che abbiamo presentato nel caso degli alberi P30 e P45.

PREMESSA

Figura 1

Vogliamo costruire un albero di Pitagora generalizzato indicando, ad esempio, da tastiera, l'angolo T.

Riferiamoci alla figura 1, a destra nella pagina.
Il triangolo PDC rettangolo, con gli angoli acuti di ampiezza T e T1. Dunque, ricordando che in un triangolo rettangolo un cateto uguale al'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto, si ha:

PD = DCsenT1;
PC = DCsenT

PD inoltre l'immagine del lato DC nella prima trasformazione, mentre PC l'immagine del lato DC nella seconda trasformazione.

Prima trasformazione (quadrato azzurro):
il lato DC ruota intorno a D di un angolo = 90 + T (senso antiorario) e si contrae di un fattore k1 = Sin(T1).
Seconda trasformazione (quadrato verde):
il lato DC ruota intorno a D di un angolo = - (90 + T1) (senso orario) e si contrae di un fattore k2 = Sin(T).

Naturalmente queste trasformazioni riguardano tutto il quadrato.

CONCLUSIONE

Introducendo dunque da tastiera l'ampiezza in gradi dell'angolo T, porremo, in partenza:

T = T * pi / 180 trasformiamo l'angolo in radianti [pi la costante π = 3.14159265...]
T1 = pi / 2 - T T1 il complementare dell'angolo T
k1 = Sin(T1) rapporto tra DP e DC
k2 = Sin(T) rapporto tra PC e DC
T = pi / 2 + T angolo di rotazione in verso antiorario intorno al vertice D
T1 = -(pi / 2 + T1) angolo di rotazione in verso orario intorno al vertice C

k1, k2, T, T1 sono i valori da sostituire nel Codice del programma

 

ALCUNI ESEMPI DI ALBERI DI PITAGORA GENERALIZZATI

P25

P36

P45

P52

P80


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