ALBERO DI PITAGORA CON ANGOLI ACUTI DI 30° E 60°, DI SEGUITO DENOMINATO P₃₀

Passo 0	Osserviamo innanzitutto il formarsi del nostro albero, passo dopo passo, per i primi 4 passi: basta premere i tasti Precedente e Successivo a sinistra, sotto alla figura. Passo 0: si parte da un quadrato di lato unitario (così scelto per comodità). Passo 1: Si costruisce sul lato superiore del quadrato, a simulare la crescita di un albero, un triangolo rettangolo, con gli angoli acuti di 30° e 60°, che abbia tale lato come ipotenusa; si costruiscono quindi i quadrati su entrambi i cateti. Passo 2: si ripete l'operazione di cui al passo 1 su entrambi i quadrati ottenuti; Passi successivi ... E così via.
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Ora dobbiamo meglio comprendere i vari passi successivi. Iniziamo dalla costruzione del quadrato sul cateto maggiore. Dobbiamo arrivare al quadrato A''B''C''D'', per questo useremo 2 trasformazioni.
Osserviamo esplicitamente che questo non è l'unico metodo per ottenere il risultato.

Figura 1	Osserviamo la Figura 1. Il quadrato A''B''C''D'' può essere ottenuto mediante la composizione di due trasformazioni: Rotazione del quadrato ABCD di un angolo di -120° (cioè 120° in senso orario) intorno al vertice C. Otteniamo il quadrato A'B'C'D'. Omotetia di centro C' e rapporto 0.866 al quadrato A'B'C'D'. Infatti il lato del quadrato di arrivo ha misura pari all'altezza di un triangolo equilatero di lato 1 (ricordiamo che il triangolo è rettangolo e ha gli angoli acuti di 30° e 60°): esso pertanto misura ≈ 0.866 (lato × (√3) /2). Finalmente otteniamo il quadrato A''B''C''D''. Se ora vogliamo ripetere la costruzione a partire dal quadrato A''B''C''D'', applicheremo le stesse trasformazioni, ma dobbiamo tenere conto del fatto che, nel nuovo quadrato, il ruolo del vertice A viene giocato dal vertice B'', quello di B da C'', quello di C da D'' e quello di D da A''.
Andiamo ora a esaminare la costruzione del quadrato sul cateto minore.
Osserviamo la Figura 2. Il quadrato A''B''C''D'' può essere ottenuto mediante la composizione di due trasformazioni: Rotazione del quadrato ABCD di un angolo di +150° (cioè 150° in senso antiorario) intorno al vertice D. Otteniamo il quadrato A'B'C'D'. Il lato del quadrato di arrivo ha misura pari alla metà del lato del quadrato di partenza (ricordiamo che il triangolo è rettangolo e ha gli angoli acuti di 30° e 60°) Pertanto dobbiamo applicare al quadrato A'B'C'D' un'omotetia di centro D' e rapporto 0.5: finalmente otteniamo il quadrato A''B''C''D''.	Figura 2

Se ora vogliamo ripetere la costruzione a partire dal quadrato A''B''C''D'', applicheremo le stesse trasformazioni, ma dobbiamo tenere conto del fatto che, nel nuovo quadrato, il ruolo del vertice A viene giocato dal vertice D'', quello di B da A'', quello di C da B'' e quello di D da C''.
E' chiaro che, ad ogni passaggio e su ogni quadrato dobbiamo effettuare entrambe le costruzioni.

Se volete realizzare personalmente l'albero di Pitagora,, potete copiare il codice da albero P₃₀ realizzato con il tag html5 canvas e javascript: come sapete, si tratta di linguaggi gratuiti e disponibili per tutti.

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