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Qual è la probabilità di vincere a 10 e lotto?

PERCORSO: webfract.it aiuti/ dieciELottoN.htm

Le regole del gioco

Sono illustrate nel D.D. 13 Luglio 2009 contenuto nei documenti ufficiali attinenti al 10eLotto:

  1. Il gioco si basa sull'utilizzo dei numeri da 1 a 90 inclusi;
  2. la giocata si effettua pronosticando da 1 a 10 numeri, da confrontare con un'estrazione di 20 numeri vincenti;
  3. si possono anche aggiungere le opzioni oro o doppio oro, delle quali non parleremo.

Probabilità di vittoria

In generale, se si scelgono n numeri, la probabilità di indovinarne x, x ≤ n, è data da

Figura 1

Abbiamo applicato la definizione classica di probabilità, quindi a denominatore abbiamo i casi ugualmente possibili, mentre a numeratore i casi favorevoli.

Di seguito, per non inserire troppe immagini, useremo spesso, per indicare le combinazioni semplici di n oggetti di classe k, la notazione Cn,k al posto della più usuale .

Casi ugualmente possibili

Il loro numero dipende solo dai numeri giocati: se giochiamo n numeri, la nostra giocata è una dei sottoinsiemi di n elementi che si formano a partire da 90 elementi. Questi sono in tutto C90,n.
Ad esempio, se giochiamo 5 numeri, la nostra giocata è una dei sottoinsiemi di 5 elementi che si formano a partire da 90 elementi. Questi sono in tutto C90,5.

Casi favorevoli

Il numero dei casi favorevoli dipende dal punteggio che ci aspettiamo di fare, considerato che i numeri vincenti devono appartenere ai 20 numeri estratti mentre quelli che non vincono devono appartenere ai 70 non estratti.

Se vogliamo conoscere la probabilità di fare x punti, x≤n, degli n numeri giocati

x, x ≤ n, devono appartenere all'insieme dei 20 numeri estratti;
n-x, cioè i restanti, devono appartenere all'insieme dei 70 numeri non estratti.

Dobbiamo quindi

  1. trovare
    • quanti sono i gruppi di x elementi distinti che si possono formare con i 20 numeri estratti, in modo che due gruppi qualunque differiscano per almeno un elemento: si tratta delle combinazioni di 20 oggetti presi a x a x che indichiamo con C20,x
    • quanti sono i gruppi di n-x elementi distinti che si possono formare i 70 numeri che non vengono estratti, in modo che due gruppi qualunque differiscano per almeno un elemento: si tratta delle combinazioni di 70 oggetti presi a (n-x) a (n-x) che indichiamo con C70,n-x
  2. Moltiplicare i valori trovati.

Il numero di casi favorevoli a fare x punti, avendo giocato n numeri, con 1≤n≤10 e x≤n, è

C20,x × C70,n-x

NOTA:

Qundo si giocano n numeri, non tutti i numeri minori di n vincono. Tabella dei numeri vincenti a seconda dei numeri giocati.

Esempio

Calcoliamo la probabilità di fare quaterna, con 7 numeri giocati

La nostra giocata è una dei sottoinsiemi di 7 elementi che si formano a partire da 90 elementi. Questi sono in tutto C90,7.
4 numeri devono ricadere fra i 20 estratti (C20,4), e, contemporaneamente, gli altri 3 fra i 70 non estratti (C70,3), quindi i casi favorevoli sono C20,4 × C70,3

Calcoliamo la probabilità di fare quaterna, con 7 numeri giocati, mediante il rapporto del numero di casi favorevoli a quello dei casi possibili:

Per la verifica dei calcoli potete servirvi della nostro calcolatore online della probabilità di vincere a 10eLotto.

La magia della notte

- foto di Tommaso Bientinesi

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