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MATEMATICA CON JAVASCRIPT


FIORI GEOMETRICI: CURVE RODONEE

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CURVE DI EQUAZIONE POLARE ρ = a + bcos(kα)

Studiate per la prima volta da Guido Grandi, monaco camaldolese, matematico e filosofo italiano, sono curve a forma di petali di fiore (e infatti rodonea deriva dal termine rosa). Il Grandi presentò il suo studio a Leibnitz nel 1713; in seguito pubblicò lo studio completo a Firenze nel 1728 con il titolo Flores geometrici ex rhodonearum et claeriarum curvarum descriptione resultantes.

Prima di presentarne l'equazione, osserviamo il formarsi di una di queste curve mediante il seguente

PROGRAMMA ANIMATO

Costruzione



Il programma simula il seguente dipositivo:

un punto si muove di moto oscillatorio armonico sopra un fissato diametro di una circonferenza.
Tale moto è ottenibile proiettando sul diametro le posizioni di un punto materiale che si muove sulla circonferenza di moto circolare uniforme.
[Per vedere il moto premi il pulsante Moto 1: viene messo in evidenza come si crei un moto oscillatorio.]

Contemporaneamente il diametro ruota con velocità angolare costante intorno al centro della circonferenza in verso antiorario.
[Per vedere il moto premi il pulsante Moti 1 e 2.]

Con la combinazione dei due moti precedenti si crea una curva rodotea.
[Per vedere la curva premi il pulsante Segna: in questo caso infatti abbiamo lasciato la traccia del punto mobile.]

Infine il pulsante AGGIORNA cancella tutto.

NOTA BENE

- Pulsazione e velocità angolare possono essere aumentate o diminuite premendo rispettivamente i pulsanti + o - posti a fianco della grandezza relativa.]

- I valori di n e d possono variare solo fra 1 e 15
- Prima di attivare un nuovo pulsante dovrete
  stoppare il movimento attuale.
- Per semplificare l'animazione i punti sono
  visualizzati ogni intervallo di tempo di 0.25s.

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LE PROVE CHE CONVIENE FARE

Innanzitutto variate solo la pulsazione (n), lasciando la velocità angolare (d) = 1. Vedrete che si ottengono curve con un numero intero di petali, ed esattamente:

- se n è dispari il numero di petali è uguale a n;

- se n è pari il numero di petali è uguale a 2n.

Provate poi a variare sia n che d in modo che il rapporto n/d sia un numero intero: vedrete che la regola sopradetta vale sempre. Ad esempio, se n = 6 e d = 3, otterrete la stessa curva che avete ottenuto per n=2 e d = 1.


Vedremo infatti che la forma di una rodonea dipende dal rapporto k tra la pulsazione del moto armonico sul diametro e la velocità angolare del moto del diametro.


Ora variate d lasciando fissi i precedenti valori di n (nella figura in alto si vedono le rodonee per d = 3). Potete notare che

- se il prodotto nd è pari, le forme sembrano più complicate che se è dispari;

- i petali, che nel loro insieme formano una specie di pala d'aeroplano quando n/d è intero, diventano più grassi e si sovrappongono.

- Il numero di petali sembra essere in relazione con n, purché la frazione n/d sia ridotta ai minimi termini.

Per le spiegazioni, dovremo, come sempre, introdurre un po' di matematica

 

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