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MATEMATICA CON JAVASCRIPT


CARDIOIDE

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CURVE DI EQUAZIONE POLARE ρ = a + bcos(kα)

Si ottiene per a = ± b e k = 1, dunque ha equazione polare ρ = a(1 ± cosα), a meno di rotazioni.

Il nome, derivante dal greco καρδιοειδήϛ (kardioeidès), cuoriforme, fu attribuito alla curva da Johann Castillon (Castiglione del Valdarno, 11 gennaio 1704 – Berlino, 11 ottobre 1791), matematico italiano, il cui vero nome era Giovanni Francesco Salvemini, in un articolo pubblicato da Philosophical Transactions della Royal Society nel 1741.

Si tratta dunque di una curva a forma di cuore - anche la matematica ha un cuore? -

Clic sull'immagine per vedere altre cardioidi.

Come potete vedere scorrendo le immagini, la cardioide può essere ottenuta, a meno di una rotazione rispetto all'origine degli assi, come grafico di varie equazioni polari, ad esempio:
ρ = 1 + cosα;   ρ = 1 - cosα   ρ = 1 + senα;   ρ = 1 - senα.

Visto che sia il seno che il coseno di un angolo sono compresi fra -1 e 1, tutte le cardioidi sono tangenti internamente alla circonferenza di centro l'origine e raggio = 2a.

Se |a| = |b| > 1, variano solo le dimensioni della curva, pertanto basterà considerare il caso
|a| = |b| = 1

COME COSTRUIRE UNA CARDIOIDE

PRIMO METODO: COME EPICICLOIDE

Si definisce epicicloide, composto di epi (su) e cicloide, la curva generata da un punto di una circonferenza che rotola sulla superficie esterna di un'altra circonferenza: è un caso particolare dell' epitrocoide, dal greco επι (epi, "su") e τροχοιδήϛ (trocoidès: a forma di ruota), curva generata da un punto di una figura che rotola su di un'altra.

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Come si vede dall'animazione, la cardioide può essere definita come il percorso di un punto fissato sulla circonferenza di un cerchio di raggio r che sta rotolando senza strisciare intorno a un altro cerchio sempre di raggio r.

Scegliendo il sistema di riferimento in modo che il cerchio fisso abbia centro nel punto (r,0), si ottiene l'equazione parametrica (1)

[ x(α) = r(1 + 2cosα + cos2α)]   and   y(α) = r(1 + 2senα + sen2α)]

Ricordando che cos2α = 2cos2α -1 e che sen2α = 2senαcosα, si ottiene:

[x(α) = 2r(1 + cosα)cosα]   and   [y(α) = 2r(1 + cosα)senα]
e, infine, ponendo a = 2r e α = t:

x(t) = a(1 + cost)cost
y(t) = a(1 + cost)sent

L'equazione cartesiana della cardioide è

APPROFONDIMENTO

DIMOSTRAZIONE

Posizione iniziale:
A(1,0); B(3,0); P(4,0); r = 1

Riferisciti alla FIGURA 2

Calcoliamo la posizione di P dopo che il cerchio rotante ha percorso l'arco α.

Per trovare l'ascissa del punto P, calcoliamo la misura di OA + AH + BK
x = 1 + 2 cos α + cos
[Il triangolo ABH è rettangolo; i triangoli BPK e QBH sono simili; l'angolo HQB è esterno al triangolo AQB e quindi è congruente alla somma degli angoli non adiacenti.]

Per trovare l'ordinata del punto P, calcoliamo la misura di HB + KP
y = 2 sen α + sen

Se il raggio è uguale a r, si ottiene, ovviamente, l'equazione (1)


 

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CURVE DI EQUAZIONE POLARE ρ = a + bcos(kα)

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COME RICAVARE L'EQUAZIONE CARTESIANA DELLA CARDIOIDE

Ci serviremo delle equazioni parametriche (1) da cui ricaviamo, innanzitutto, che y/x = tgα

Ricordiamo che

Sostituiamo questi valori nella prima delle due equazioni. Ricaviamo

Sostituiamo a tgα y/x. Ricaviamo:

Svolgiamo i calcoli e isoliamo il radicale:

Eleviamo al quadrato per eliminare il doppio segno, ed ecco l'equazione cartesiana della cardioide

CURVE DI EQUAZIONE POLARE ρ = a + bcos(kα): Sommario
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