NOTAZIONE POLACCA INVERSA - IL TASTO MOD

 

Calcolatrice on line

 

Molto spesso non c'è accordo fra la definizione di resto in matematica ed il risultato che forniscono molte calcolatrici.
Javascript, se si usa l'operatore %, dà dei risultati inaspettati: ad esempio, se calcoliamo il resto della divisione fra -25 e 4 otteniamo -1. Il motivo è da ricercarsi nel fatto che, per il calcolo del resto:
  1. viene troncato il quoziente. Nel nostro esempio -25/4 = -6,25 ≈ -6
  2. il resto viene calcolato come differenza fra il dividendo ed il prodotto del quoziente per il divisore.
    Nel nostro esempio -25 - (- 6 × 4) = -25 + 24 = -1
In matematica invece il resto deve essere sempre non negativo, come stabilito dal
TEOREMA - O ALGORITMO - DELLA DIVISIONE
Per ogni coppia di numeri interi a e b, b ≠ 0, esistono due numeri interi unici q ed r, chiamati rispettivamente quoziente e resto, tali che:
(1)   a = bq + r, 0 ≤ r < |b|

La dimostrazione, relativa sia all'esistenza che all'unicità del quoziente e del resto, ci permette anche di calcolarli.

Dalla (1) ricaviamo infatti che deve essere 0 ≤ a-qb < |b|

Distinguiamo allora due casi:

CASO 1: b > 0

Si ottiene: a/b -1 < q ≤ a/b
Occorre pertanto, per trovare q, arrotondare per difetto il quoziente fra a e b e dunque:
q= Math.floor(a/b); r = a - b × q

CASO 2: b < 0

Si ottiene: a/b ≤ q < a/b + 1
Occorre pertanto, per trovare q, arrotondare per eccesso il quoziente fra a e b dunque:
q= Math.ceil(a/b); r = a - b × q

Quindi in entrambi i casi il resto si trova con la formula r = a - bq.

ESEMPI
a
b
a/b
azione
q
r = a - bq 
r
prova
 25
  4 
 6.25
arrotondare per difetto
  6 
r = 25 - 6 × 4
 1 
 25 =  4 × 6 + 1
-25
  4 
-6.25
arrotondare per difetto
 -7 
r = - 25 - (-7) × 4
 3 
-25 =  4 × (-7) + 3
 25
 -4 
-6.25
arrotondare per eccesso
 -6 
r = 25 - (-4) × (-6)
 1 
 25 = -4 × (-6) + 1
-25
 -4 
 6.25
arrotondare per eccesso
  7 
r = - 25 - (-4) × 7
 3 
-25 = -4 × 7 + 3

NOTA: chi è interessato alla dimostrazione la può trovare su Wikipedia (in inglese)

La nostra scelta è stata quella di far calcolare, dal nostro tasto MOD, il resto come lo intendono i matematici.
Un ulteriore vantaggio è dato dal fatto che è così possibile anche fare il calcoli con l'aritmetica modulare.


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