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acciamo il punto.
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Procedimento di Kaprekar
Prende il nome da Dattaraya Ramchandra Kaprekar, un insegnante indiano che lo scoprì nel 1949 per un numero di 4 cifre.
Il procedimento si può generalizzare anche numeri di k cifre.
Come opera il procedimento di Kaprekar
Si prenda un numero intero positivo n
e si costruiscano da esso i numeri
- n', formato dalle cifre di n disposte in ordine decrescente;
- n'', formato dalle cifre di n disposte in ordine crescente, trascurando l'eventuale 0 iniziale;
Si calcoli ora K(n) = n'-n''
Si sostituisca la differenza trovata ad n e si ripeta il procedimento.
Che cosa succede
L'algoritmo raggiunge 0 (caso degenere), una costante, o un ciclo, a seconda del numero di cifre e il valore di n.
495
E' la costante di Kaprekar per i numeri di tre cifre che siano tutte diverse; se due di esse sono uguali si può ottenere 0 o 495 (Provate, ad esempio, con 727 o 545)
Chiaramente se il numero di partenza è 495 esso resta stabile, infatti 954-459=495.
6174
E' la costante di Kaprekar per i numeri di quattro cifre che che non siano tutte uguali oppure che siano fino a tre uguali, ma con la quarta che sia superiore o inferiore di 1 rispetto alle altre (Provate, ad esempio, con 4447 o 4445)
Chiaramente se il numero di partenza è 6174 esso resta stabile, infatti 7641-1467=6174.
(53955,59994)
Ciclo di due iterazioni nel procedimento di Kaprekar per numeri di cinque cifre
(71973, 83952, 74943, 62964)
Ciclo di quattro iterazioni nel procedimento di Kaprekar per numeri di cinque cifre
(75933, 63954, 61974, 82962)
Ciclo di quattro iterazioni nel procedimento di Kaprekar per numeri di cinque cifre
I risultati riguardo ai numeri di cinque cifre sono stati trovati sperimentalmente da Roby Ellis e Jason Lewis, su un campione di 100000 numeri.
cfr. Investigations into the Kaprekar Process
Essi hanno scoperto che tutti i numeri di cinque cifre esaminati entrano in un punto qualunque di uno dei due cicli.
(549945, 631764)
Costanti di Kaprekar per numeri a sei cifre.
(642654, 420876, 851742, 750843, 840852, 860832, 862632)
Ciclo di sette iterazioni nel procedimento di Kaprekar per numeri di sei cifre
Anche questo risultato è dovuto a Roby Ellis and Jason Lewis
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Kees Popinga ha pubblicato nel suo blog Popinga - Scienza e letteratura "con taglio spiritoso e a tratti trasognato", in data 31/10/2012, un bell'articolo sul procedimento di Kaprekar.
Conoscevamo già i numeri 495 e 6174, pubblicati, fra gli altri, da David Wells, Numeri Memorabili, Zanichelli editore. La lettura dell'articolo ci ha comunque fatto venire in mente l'idea di pubblicare un calcolatore online del procedimento di Kaprekar.Il calcolatore, sviluppato in javascript, offre la possibilità di studiare il comportamento di numeri interi positivi fino a un massimo di 16 cifre.
HELP
- Inserire un numero intero positivo, e che abbia un massimo di 16 cifre, nella casella di testo etichettata come Numero di partenza.
- Premere il pulsante AVVIA
Nelle caselle di testo sottostanti compaiono:
- le cifre del numero in ordine decrescente;
- le cifre del numero in ordine crescente;
- il numero formato con le cifre in ordine decrescente (Minuendo);
- il numero formato con le cifre in ordine crescente (Sottraendo);
- la differenza dei due numeri.
Inoltre vengono visualizzati:
- il numero inserito al punto 1, che viene mantenuto per memoria;
- il numero di cicli, che all'inizio è 1.
Nell'area di testo sottostante viene indicata la sottrazione effettuata con relativa differenza.
- Se premi il pulsante CONTINUA PASSO PER PASSO
- La differenza viene sostituita al numero di partenza.
- Si ripete il procedimento precedente di cui al punto 2.
Viene incrementato il contatore dei cicli e nell'area di testo si forma la lista delle operazioni.
- Il procedimento si considera completato nei seguenti casi:
- la differenza resta invariata rispetto alla procedura di Kaprekar: nell'area di testo viene segnalato che è stata trovata una costante di Kaprekar.
In questo caso, anche continuando a premere il pulsante CONTINUA, il numero di cicli non viene incrementato.
- Il procedimento dà luogo a un ciclo:
o viene segnalato che la differenza trovata "è uguale al numero di partenza" (es. 840852)
oppure che il ciclo ricomincia da una differenza trovata in precedenza. (Es. 85420)
- La differenza è zero: viene segnalato che il caso è degenere (es. 565 oppure 2221)
- Se premi il pulsante CONTINUA PER 10 PASSI.
- Vengono prodotti in automatico i punti 3 e 4 per dieci volte.
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