MATEMATICA CON JAVASCRIPT

VORTICI DI POLIGONI REGOLARI E SPIRALI LOGARITMICHE

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PREMESSA

 

Inscriviamo un poligono regolare in un altro con lo stesso numero di lati (FIGURA 1)

Abbiamo visto che, conoscendo β e p, possiamo ricavare k e q.

Se invece, come abbiamo visto nel primo metodo, partiamo da k, possiamo ricavare

  1. il rapporto q fra i lati A0B0 e A1B1, applicando il teorema del coseno al triangolo A1B0B1:

    Poiché risulta

    possiamo concludere che

  2. l'angolo p = ∠(B0A1B1), applicando il teorema del coseno al triangolo A1B0B1:

    Sostituendo al posto di q l'espressione trovata al punto 1. si ottiene infine

 

Noterete che l'angolo p è l'angolo di rotazione che porta A0 verso T.

DIMOSTRAZIONE

Riferiamoci agli angoli del triangolo A1OA0. Basta infatti ricordare che, in un poligono regolare, se uniamo il centro con i vertici, i raggi bisecano i rispettivi angoli al vertice.

Dunque risulta:


A causa della similitudine fra i poligoni si può inoltre affermare che q è anche il rapporto fra i raggi dei poligoni stessi.


 

Supponiamo, in conclusione, di conoscere p e q, oltre che il numero di lati del poligono regolare.

Riferiamoci ora alla FIGURA 1

Abbiamo riportata la spezzata che unisce i vertici corrispondenti di 10 poligoni a partire dal vertice A0 di un pentagono regolare.
Costruito un sistema di riferimento polare in cui il polo coincide con il centro dei poligoni, abbiamo indicato con
ρ0, ρ1,... ρnum i raggi vettori e con θ0, θ1,... θnum le anomalie, ovviamente espresse in radianti.

Per una migliore visualizzazione abbiamo preso k = 0.4. Posto
q = ρ1 / ρ0
Si trova che la spezzata appartiene al ramo di spirale logaritmica (clic sulla FIGURA 1 per vederla; clic per tornare alla FIGURA 1) di equazione

DIMOSTRAZIONE

 

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