spirale frattale con il metodo IFS - frattali e caos -Eliana Argenti e Tommaso Bientinesi

SPIRALE FRATTALE IFS

Presentiamo il primo esempio di spirale costruita con il metodo IFS, o di Barnsley.

La matrice delle trasformazioni che ne permettono la costruzione e che è riportata nella seguente tabella:

	a	b	c	d	e	f	p
I	0.728	-0.529	0.0	0.529	0.728	0.0	0.87
II	0.3	0.0	+ 0.7	0.0	0.3	+ 0.51	0.13

E' questo un metodo compatto per scrivere le equazioni delle trasformazioni lineari, cioè quelle in cui le variabili sono tutte al primo grado; invece che scrivere:

(x'= ax + by + c) AND (y'= dx + ey + f)

si dispongono in una stessa riga i coefficienti che fanno parte della stessa trasformazione, mentre l'ultima colonna rappresenta la probabilità con cui applicare la trasformazione.

Ad esempio, riferendoci alla I trasformazione, che si applica con probabilità del 90%, possiamo scrivere:

(x'= 0.728x -0.529y) AND (y'= 0.529x + 0.728y)

Non dimentichiamo che il nostro è un sistema di funzioni iterate, e dunque il risultato di ogni trasformazione deve diventare il numero in entrata per la prossima trasformazione, si tratta quindi di assegnare rispettivante ad x e a y x' e y'.

Ecco il listato del programma in linguaggio di progetto:

INIZIA Parti da un punto iniziale, ad esempio l'origine (x=0; y=0) Ripeti per 50000 volte: Estrai un numero a caso (di nome T) minore di 1	Dopo aver scelto un punto di partenza si inizia il ciclo; viene estratto un numero casuale che ci permette di impostare la trasformazione a seconda del suo valore.
Se T < 0.87 allora xT = 0.728x -0.529y yT = 0.529x + 0.728y Scegli un colore	Equazione della prima trasformazione, applicata con probabiltà del 90%. Nella prima immagine a sinistra si vede la rappresentazione grafica della trasformazione applicata al quadrato di vertici A(1,1) B(1,-1) C(-1,-1) D(-1,1) Nella seconda immagine a sinistra i tre quadrati rosso, verde e blu sono ognuno il trasformato del precedente nella stessa trasformazione.
Altrimenti xT = 0.3 * x + 0.7 yT = 0.3 * y + 0.51 Scegli un colore	Equazione della seconda trasformazione, applicata con probabiltà del 10%. Nella prima immagine a sinistra si vede la rappresentazione grafica della trasformazione applicata al quadrato di vertici A(1,1) B(1,-1) C(-1,-1) D(-1,1) Nella seconda immagine a sinistra i tre quadrati rosso, verde e blu sono ognuno il trasformato del precedente nella stessa trasformazione.
Fine se Disegna sullo schermo il punto (xT,yT) moltiplicando le sue coordinate per 200 e con il colore scelto
x = xT y = yT	La prossima trasformazione si applicherà al punto xT, yT precedentemente trovato.
Fine ciclo FINE

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