spiega albero frattale - caos e oggetti frattali- Eliana Argenti e Tommaso Bientinesi-

La matematica degli alberi frattali

PREMESSE
I rami del nostro albero sono parallelogrammi che "spuntano" dai precedenti.
Il tronco iniziale è un semplice rettangolo.

	Richiamiamo, inizialmente, le note relazioni presentate in figura per "risolvere" un triangolo rettangolo nel caso in cui si conoscano la misura dell'ipotenusa e dell'angolo T.
Riferiamoci ora al parallelogramma ABCD. Supponiamo di conoscere:
le coordinate del punto A(xA,yA) la misura del lato AB=DC La misura del lato BC=AD L'ampiezza dell'angolo T L'ampiezza dell'angolo T1 Le coordinate degli altri punti del parallelogramma sono date da:

x_B=x_A+ABcos(T1)
y_B=y_A+ABsen(T1)

x_C=x_B+BCcos(T)
y_C=y_B+BCsen(T)

x_D=x_C-CDcos(T1)
y_D=y_C+CDsen(T1)

A questo punto è possibile scrivere il programma, in linguaggio di progetto, che consente di relizzare l'albero frattale:

Passo zero

Costruire un rettangolo con il lato AB di 20 pixel ed il lato BC di 100 pixel (o di altra misura a piacere).

passo zero

Passo uno: calcoliamo l'origine dei nuovi rami

passo uno Traslare il punto A e trasformarlo nel punto A': il punto A' si trova nel punto medio fra C e D.

Risulta

xA'= xC+0.5*(xC-xD)
yA'= xD+0.5*(yC-yD)

Passo due: contrarre la figura di partenza.

Visto che i rami mano a mano si rimpiccoliscono, possiamo porre:

A'B'=0.67*AB; C'D'=0.67*CD

In questo modo, la lunghezza di ogni ramo diventa circa i due terzi del ramo precedente.
E' ovvio che è possibile scegliere un'altra contrazione a piacere.

Passo tre: costruire il ramo di destra.

Con facili calcoli si trova:

x_B'= x_A'+A'B'cosT1
y_B'= y_A'-A'B'senT1
x_C'= x_B'+B'C'cosT
y_C'= y_B'+B'C'senT
x_D'= x_C'-A'B'cosT1
y_D'= y_C'+A'B'senT1

Scegliere gli angoli T e T1 a piacere.
Nell'esempio l'angolo T è di circa 45° che corrisponde a circa 0.785 radianti, mentre T1 è di circa 30° che corrisponde a circa 0.524 radianti.

Passo quattro: costruire il ramo di sinistra.

Con facili calcoli si trova:

x_B''= x_A''-A''B''cosT4
y_B''= y_A''-A''B''senT4
x_C''= x_B''-B''C''cosT3
y_C''= y_B''+B''C'senT3
x_D''= x_A''-A''D''cosT3
y_D''= y_A''+A''D'senT3

Passi successivi: iterare il procedimento.

Ripetere i passi da 1 a 4, riferendoli però ai nuovi rami. Basterà applicare le formule sopra scritte alle nuove coordinate.

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