FOGLIA DI PLATANO FRATTALE

Ecco la foglia di platano frattale costruita con il metodo di Barnsley, famosa in tutto il mondo.

La foglia di platano è pubblicata molto spesso con accanto la matrice delle trasformazioni. Tale matrice, a quanto ci è dato sapere, è stata predisposta da Paul Bourke nel gennaio 2002. Ecco la relativa tabella:

 

a

b

c

d

e

f

p

I

0.14

0.01

-0.08

0.00

0.51

-1.31

0.06

II

0.43

0.52

1.49

-0.45

0.50

-0.75

0.40

III

0.45

-0.49

-1.62

0.47

0.47

-0.74

0.39

IV

0.49

0.00

0.02

0.00

0.51

1.62

0.15

E' questo un metodo compatto per scrivere le equazioni delle trasformazioni lineari, cioè quelle in cui le variabili sono tutte al primo grado; invece che scrivere:

(x'= ax + by + c) AND (y'= dx + ey + f)

si dispongono in una stessa riga i coefficienti che fanno parte della stessa trasformazione, mentre l'ultima colonna rappresenta la probabilità con cui applicare la trasformazione.

Ad esempio, riferendoci alla III trasformazione, che si applica con probabilità del 39%, possiamo scrivere:

(x'= 0.45x -0.49y -1.62) AND (y'= 0.47x + 0.47y -0.74 )

Non dimentichiamo che il nostro è un sistema di funzioni iterate, e dunque il risultato di ogni trasformazione deve diventare il numero in entrata per la prossima trasformazione, si tratta quindi di assegnare rispettivante ad x ed a y x' ed y'.

Ecco il listato del programma in linguaggio di progetto:


 INIZIA
 Parti da un punto iniziale, ad esempio l'origine (x=0; y=0) 
  Ripeti per 50000 volte: 
    Estrai un numero a caso (di nome T) minore di 100 
     xT = x 
Dopo aver scelto un punto di partenza si inizia il ciclo; viene estratto un numero casuale che ci permette di impostare la trasformazione a seconda del suo valore; viene quindi memorizzata la x in una variabile d'appoggio (infatti la x è coinvolta anche nel calcolo della y: dovremo dunque memorizzare la x in un'altra variabile prima di trasformarla).
 Se T < 0.06 allora
            x = 0.14 * x + 0.01 * y - 0.08
            y = 0.51 * y - 1.31
            Scegli un colore


Prima trasformazione, applicata con probabiltà del 6%

     Altrimenti se T < 0.46 allora
             x = 0.43 * x + 0.52 * y + 1.49
             y = -0.45 * xT + 0.5 * y - 0.75
              Scegli un colore


Seconda trasformazione, applicata con probabiltà del 40%
(0.06 + 0.40 = 0.46)

    Altrimenti se T < 0.85 allora
             x = 0.45 * x - 0.49 * y - 1.62
             y = 0.47 * xT + 0.47 * y - 0.74
              Scegli un colore


Terza trasformazione, applicata con probabiltà del 39%

    Altrimenti  
           x = 0.49 * x + 0.02
            y = 0.51 * y + 1.62
            Scegli un colore


Quarta trasformazione, applicata con probabiltà del 15%

   Fine se
  Se hai già fatto 20 ripetizioni allora
    Disegna sullo schermo il punto moltiplicando le sue coordinate per 25 e con il colore scelto
   Fine ciclo
FINE

Nella costruzione della foglia le probabilità delle quattro trasformazioni sono diverse fra di loro, a differenza di quelle per la costruzione del triangolo di Sierpinski. Attribuendo una probabilità maggiore alla trasformazione che opera la minima riduzione in scala, nel nostro caso la seconda e terza trasformazione, le parti del disegno si riempiono tutte con la stessa velocità, consentendo un più rapido formarsi della figura.

PROVA IL PROGRAMMA CHE COSTRUISCE LA FOGLIA DI PLATANO PASSO PER PASSO


 

 

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