Calcoliamo il perimetro e l'area del fiocco di neve di von Koch.
Partiamo da un triangolo equilatero di lato l=1 unità di misura.
Il perimetro del triangolo, che è equilatero, è di 3 unità, mentre quello del poligono ottenuto è di 4 unità (3 x 4 x 1/3).
Ripetiamo la trasformazione: otterremo un nuovo poligono che avrà 48 lati (4 per ognuno dei precedenti), ognuno di lunghezza di 1/9 di unità. Il suo perimetro sarà di 48/9 unità = 16/3 unità = (4 x 4/3) unità.
Continuiamo a trasformare la curva. Il suo perimetro moltiplica ogni volta la sua lunghezza
per i suoi 4/3, cosicché, proseguendo all'infinito, tende a infinito.
Ogni trasformazione aggiunge una piccola area all'interno della curva ma questa, anche "complicandosi",
è sempre racchiusa da un cerchio di area finita.
Ecco dunque un esempio di linea infinita che comprende una superficie finita.
Essa sarà più di una linea, ma meno di una superficie. Il criterio giusto per studiarla è quello di esaminarne la dimensione. Vedremo anche come questo apparente paradosso, apparso come un mostro agli occhi dei contemporanei di von Koch, è invece efficacemente usato dalla Natura.
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